[论文解读] On L-spaces and left-orderable fundamental groups

Steven Boyer, Cameron McA. Gordon+1 more|Archipelago (Université du Québec à Montréal)|Jul 25, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 36被引用 17

一句话总结

该论文为若干大类3-流形建立了L-空间与基本群非左序化的对应关系，包括非双曲几何3-流形以及非分裂交替链路的2重分支覆盖。证明了对于这些流形，其为L-空间当且仅当其基本群非左序化，并表明非分裂交替链路的2重分支覆盖的基本群是左序化的，当且仅当该链路为具有两个或更多分量的平凡链路。

ABSTRACT

Examples suggest that there is a correspondence between L-spaces and 3-manifolds whose fundamental groups cannot be left-ordered. In this paper we establish the equivalence of these conditions for several large classes of such manifolds. In particular, we prove that they are equivalent for any closed, connected, orientable, geometric 3-manifold that is non-hyperbolic, a family which includes all closed, connected, orientable Seifert fibred spaces. We also show that they are equivalent for the 2-fold branched covers of non-split alternating links. To do this we prove that the fundamental group of the 2-fold branched cover of an alternating link is left-orderable if and only if it is a trivial link with two or more components. We also show that this places strong restrictions on the representations of the fundamental group of an alternating knot complement with values in Homeo_+(S^1).

研究动机与目标

• 研究L-空间与3-流形基本群左序化性质之间的关系。
• 检验一个猜想：有理同调3-球面是L-空间当且仅当其基本群非左序化。
• 为包括非双曲几何3-流形和非分裂交替链路2重分支覆盖在内的大类3-流形建立这种等价性。
• 分析扭结群基本群到Homeo+(S¹)的表示及其对左序化性质的影响。

提出的方法

• 证明：对于任意闭、连通、定向的纤维丛3-流形，该流形是L-空间当且仅当其基本群非左序化。
• 利用Boyer-Rolfsen-Wiest与Lisca-Stipsicz的结果，建立纤维丛情形的结论。
• 分析非分裂交替链路的2重分支覆盖，证明其基本群是左序化的，当且仅当该链路为具有≥2个分量的平凡链路。
• 运用表示理论：分析从扭结群到Homeo+(S¹)的同态，满足ρ(μ²)=1，表明此类表示可分解为ℤ/2的表示。
• 利用欧拉类消失性及提升至Homeo+(S¹)的万有覆盖的性质，证明当群非左序化时，其提升为平凡。
• 应用关于共定向的紧密叶状结构及其与有限指数左序化子群关系的结果，以支持更广泛的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以基本群的左序化性质来表征L-空间？
• RQ2 在哪些类别的3-流形中，基本群非左序化当且仅当该流形是L-空间？
• RQ3 非分裂交替链路的2重分支覆盖的基本群具有何种结构？
• RQ4 扭结群到Homeo+(S¹)的表示如何约束基本群的左序化性质？

主要发现

• 对于任意闭、连通、定向的非双曲几何3-流形，该流形是L-空间当且仅当其基本群非左序化。
• 非分裂交替链路的2重分支覆盖的基本群是左序化的，当且仅当该链路为具有两个或更多分量的平凡链路。
• 若3-流形的基本群非左序化，则任何满足ρ(μ²)=1的扭结群到Homeo+(S¹)的同态，其像的阶必整除2。
• 此类表示的欧拉类消失，允许提升至Homeo+(S¹)的万有覆盖，当群非左序化时，该提升必为平凡。
• 对于交替扭结，此类表示必通过同调分解，且像由一条子午线的像生成，该像的阶必整除2。
• 若2重分支覆盖的迹域具有实嵌入，则该表示可共轭进入PSL₂(ℝ)，但上述约束排除了这种可能性，故该表示必为有限表示。