[论文解读] On lacunary statistically quasi-Cauchy sequences

Hüseyi̇n Çakallı, Çiğdem Gündüz Aras+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2011

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 22被引用 6

一句话总结

本文引入并研究了实函数的间隙统计 Ward 连续性，证明了在 ℝ 的间隙统计 Ward 紧子集上，这种连续性蕴含一致连续性。主要贡献在于通过保持间隙统计拟 Cauchy 列来表征一致连续性，扩展了先前在统计和间隙统计框架下关于序列连续性和紧性的结果。

ABSTRACT

The main object of this paper is to investigate lacunary statistically ward continuity. We obtain some relations between this kind of continuity and some other kinds of continuities. It turns out that any lacunary statistically ward continuous real valued function on a lacunary statistically ward compact subset $E\subset{ extbf{R}}$ is uniformly continuous.

研究动机与目标

• 定义并研究一种新的序列连续形式，称为间隙统计 Ward 连续性。
• 探讨间隙统计 Ward 连续性与其他类型序列连续性（如 Ward、缓慢振荡和 Nθ-Ward 连续性）之间的关系。
• 建立间隙统计 Ward 连续性蕴含一致连续性的条件。
• 通过保持间隙统计拟 Cauchy 列来表征一致连续性。
• 扩展现有关于统计和间隙统计框架下序列紧性和连续性的结果。

提出的方法

• 使用差分序列 Δαₙ 的间隙统计极限，引入间隙统计拟 Cauchy 列的概念。
• 若实函数 f 保持间隙统计拟 Cauchy 列，则定义其为间隙统计 Ward 连续。
• 利用构造性引理，从距离任意小但函数值差有界的点对中构造出间隙统计拟 Cauchy 列。
• 采用反证法：假设非一致连续，则可构造出一个图像不是间隙统计拟 Cauchy 列的间隙统计拟 Cauchy 列。
• 依赖于统计和 Nθ-收敛理论中的既定结果，特别是关于拟 Cauchy 列与一致连续性之间关系的研究。
• 应用先前文献中的定理（例如 [9], [28]）以推导不同类型序列连续性之间的等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，间隙统计 Ward 连续性蕴含一致连续性？
• RQ2 间隙统计 Ward 连续性与 Ward、缓慢振荡和 Nθ-Ward 连续性等其他序列连续性有何关系？
• RQ3 能否通过保持间隙统计拟 Cauchy 列来表征一致连续性？
• RQ4 间隙统计 Ward 紧性与一致连续性之间存在何种关系？
• RQ5 间隙统计 Ward 连续函数的类在一致收敛下是否构成闭子集？

主要发现

• 任何在 ℝ 的间隙统计 Ward 紧子集上具有间隙统计 Ward 连续性的实值函数均为一致连续。
• 函数 f 在区间 E 上一致连续，当且仅当它将 E 中的每个拟 Cauchy 列映射为间隙统计拟 Cauchy 列。
• 间隙统计 Ward 连续性蕴含 Ward 连续性和缓慢振荡连续性。
• 间隙统计 Ward 连续函数作用于间隙统计拟 Cauchy 列的像仍是间隙统计拟 Cauchy 列。
• 在子集 E ⊂ ℝ 上所有间隙统计 Ward 连续函数的集合是 E 上所有连续函数空间中的闭子集。
• 一列间隙统计 Ward 连续函数的一致极限本身也是间隙统计 Ward 连续的。