[论文解读] On Laplacian energy of non-commuting graphs of finite groups

Parama Dutta, Rajat Kanti Nath|arXiv (Cornell University)|May 27, 2017

Graph theory and applications被引用 6

一句话总结

本文计算了有限非交换群的非交换图的拉普拉斯能量（LE），这些群的中心商群同构于特定群，如绍托群、初等阿贝尔p-群、二面体群等。利用谱图论，作者基于群的中心大小和商群结构，推导出LE的闭式表达式，表明LE的值根据群的类型为整数或有理数，关键结果包括阶为p³的群、4-和5-中心化子群，以及平面交换图。

ABSTRACT

In this paper, we compute Laplacian energy of the non-commuting graphs of some classes of finite non-abelian groups.

研究动机与目标

• 计算特定类有限非交换群的非交换图的拉普拉斯能量（LE）。
• 建立群结构（特别是商群G/Z(G)）与非交换图谱不变量之间的关系。
• 确定拉普拉斯能量为整数或有理数的条件，并对具有特定中心化子数量或交换度的群进行LE的特征刻画。
• 探讨交换图的图亏格（平面性）与拉普拉斯能量之间的联系。

提出的方法

• 使用公式 $ LE({\rm \bf G}) = \sum_{\mu \in \operatorname{L-Spec}-\operatorname{spec}({\mathcal{G}})} \left| \mu - \frac{2|e({\mathcal{G}})|}{|v({\mathcal{G}})|} \right| $ 计算拉普拉斯能量，其中 $ \mu $ 为拉普拉斯矩阵的特征值。
• 基于 $ G/Z(G) $ 的结构，从已知结果（文献[11]中的定理3.1和3.2）推导出非交换图 $ \mathcal{A}_G $ 的谱。
• 通过交换图 $ \overline{\mathcal{A}}_G $ 计算边数 $ |e({\mathcal{A}}_G)| $，该图表示为完全图 $ K_n $ 的不相交并集，基于中心化子的大小。
• 分析非中心元素的中心化子，以确定交换图的结构，进而用于计算边数和谱数据。
• 对于满足 $ G/Z(G) \cong \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p $ 的群，拉普拉斯谱为 $ \{0, ((p^2-p)|Z(G)|)^{(p^2-1)|Z(G)|-p-1}, ((p^2-1)|Z(G)|)^p \} $，从而实现LE的精确计算。
• 结果扩展至n-中心化子群、给定交换度 $ \Pr(G) $ 的群，以及平面交换图，使用已知的分类结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足 $ G/Z(G) \cong Sz(2) $ 的有限非交换群，其非交换图的拉普拉斯能量是多少？
• RQ2 当 $ G/Z(G) \cong \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p $ 时，拉普拉斯能量如何依赖于中心大小 $ |Z(G)| $？
• RQ3 n-中心化子群的拉普拉斯能量能否以闭式表达？其随n的变化规律如何？
• RQ4 当交换图是平面图时，拉普拉斯能量是多少？哪些群具有此性质？
• RQ5 交换度 $ \Pr(G) $ 如何影响非交换图的拉普拉斯能量？

主要发现

• 对于满足 $ G/Z(G) \cong Sz(2) $ 的群，拉普拉斯能量为 $ LE({\mathcal{A}}_G) = \left(\frac{120}{19}|Z(G)| + 30\right)|Z(G)| $，其为有理数但非整数。
• 当 $ G/Z(G) \cong \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p $ 时，拉普拉斯能量为 $ LE({\mathcal{A}}_G) = 2p(p-1)|Z(G)| $，对所有素数 $ p $ 均为整数。
• 对于阶为 $ p^3 $ 的非交换群，拉普拉斯能量为 $ 2p^2(p-1) $，其中 $ p=2 $ 时 $ LE=8 $，$ p=3 $ 时 $ LE=36 $。
• 对于4-中心化子群，$ LE({\mathcal{A}}_G) = 4|Z(G)| $；对于5-中心化子群，其值为 $ 12|Z(G)| $ 或 $ \frac{18|Z(G)|^2 + 27|Z(G)|}{5} $，具体取决于 $ G/Z(G) $ 的同构类型。
• 当 $ \Pr(G) = \frac{5}{8} $ 时，拉普拉斯能量为 $ 4|Z(G)| $；当 $ \Pr(G) \in \{\frac{5}{14}, \frac{2}{5}, \frac{11}{27}, \frac{1}{2}\} $ 时，其值分别为 $ \frac{28}{3}, \frac{28}{3}, 25, \frac{126}{5} $。
• 若交换图是平面图，则 $ G \cong S_3, D_8, $ 或 $ Q_8 $，且拉普拉斯能量为9或 $ \frac{28}{3} $，具体取决于群的类型。