[论文解读] On large deviation probabilities for empirical distribution of branching random walks: Schr{ö}der case and B{ö}ttcher case

Xinxin Chen, Hui He|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文研究了在Schröder与Böttcher情形下，超临界分支随机游走的经验分布的大偏差概率。通过分析步长的尾部行为——Weibull或Gumbel分布——在对称性和有限方差条件下，推导出归一化经验测度偏离标准正态极限的概率的精确渐近衰减速率，利用拉普拉斯方法与矩生成函数分析，建立了精确的大偏差原理。

ABSTRACT

Given a super-critical branching random walk on $\mathbb{R}$ started from the origin, let $Z\_n(\cdot)$ be the counting measure which counts the number of individuals at the $n$-th generation located in a given set. Under some mild conditions, it is known in \cite{B90} that for any interval $A\subset \mathbb{R}$, $\frac{Z\_n(\sqrt{n}A)}{Z\_n(\mathbb{R})}$ converges a.s. to $ν(A)$, where $ν$ is the standard Gaussian measure. In this work, we investigate the convergence rates of $$\mathbb{P}\left(\frac{Z\_n(\sqrt{n}A)}{Z\_n(\mathbb{R})}-ν(A)>Δ ight),$$ for $Δ\in (0, 1-ν(A))$, in both Schr{ö}der case and B{ö}ttcher case.

研究动机与目标

• 理解分支随机游走经验分布向正态极限收敛的速率，特别是在大偏差情形下。
• 推导出归一化经验测度超过与正态测度固定偏差的概率的精确渐近衰减速率。
• 在步长分布尾部具有普遍假设的前提下，通过分析Schröder情形（其中 $ p_1 > 0 $）与Böttcher情形（其中 $ p_0 = p_1 = 0 $），扩展现有结果。
• 在两种情形下建立经验测度的大偏差原理，尤其当步长具有Weibull或Gumbel尾部行为时。

提出的方法

• 分析依赖于对分支过程矩生成函数应用拉普拉斯方法，利用繁殖与位移的独立性。
• 作者使用测度变换技术对总种群大小进行条件化，将问题简化为i.i.d.随机变量和的大偏差问题。
• 关键估计通过累积量生成函数 $ \Lambda(\theta) $ 及其共轭凸函数 $ I_A(p) $ 得到，后者刻画了偏离的速率函数。
• 对于Weibull尾部，该方法通过指数矩有界尾部概率，并对 $ x^\alpha $ 应用凸性论证。
• 对于Gumbel尾部，分析使用双指数尾部估计与对数渐近分析，以控制大偏差概率的衰减。
• 证明利用了由 $ L_{k+1} = \alpha(\Lambda(\theta) - \Lambda(L_k)) $ 定义的递归序列 $ L_k $，该序列收敛于 $ \theta $，从而确保拉普拉斯方法在渐近分析中的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Schröder情形下，大偏差概率 $ \mathbb{P}\left(\bar{Z}_n(\sqrt{n}\sigma^2 A) - \nu(A) \geq \Delta\right) $ 的精确衰减速率是什么？
• RQ2 步长的尾部行为（Weibull或Gumbel）如何影响Böttcher情形下的大偏差速率？
• RQ3 在一般矩条件与尾部条件下（包括非有界步长），能否建立经验测度的大偏差原理？
• RQ4 累积量生成函数 $ \Lambda(\theta) $ 在刻画经验测度偏离速率函数中起什么作用？

主要发现

• 对于具有 $ \mathbb{P}(X \geq x) = \Theta(1)e^{-\lambda x^\alpha} $ 尾部的Weibull型步长，大偏差概率的衰减速率由 $ \lambda a^\alpha $ 控制，且满足 $ \limsup_{n\to\infty} \frac{t_n^{\alpha-1}}{n^{\alpha/2}} \log \mathbb{P}(\sum_{i=1}^{t_n} X_i \geq a\sqrt{n}) \leq -\lambda a^\alpha $。
• 对于具有 $ \mathbb{P}(X \geq x) = \Theta(1)e^{-e^{x^\alpha}} $ 尾部的Gumbel型步长，对数概率的衰减速率满足 $ \liminf_{n\to\infty} \frac{t_n^\alpha}{n^{\alpha/2}} \log[-\log \mathbb{P}(\sum_{i=1}^{t_n} X_i \geq a\sqrt{n})] \geq a^\alpha $。
• 经验测度 $ \bar{Z}_n(\sqrt{n}\sigma^2 A) $ 向正态测度 $ \nu(A) $ 的收敛速率由速率函数 $ I_A(p) $ 描述，该函数由累积量生成函数 $ \Lambda(\theta) $ 推导得出。
• 由 $ L_{k+1} = \alpha(\Lambda(\theta) - \Lambda(L_k)) $ 定义的递归序列 $ L_k $ 收敛于 $ \theta $，确保了拉普拉斯方法在渐近分析中的有效性。
• 在假设 $ X $ 对称且 $ \mathbb{E}[X^2] = 1 $，且存在某个 $ \theta > 0 $ 使得生成函数 $ \mathbb{E}[e^{\theta Z_1(\mathbb{R})}] < \infty $ 的条件下，结果成立，这保证了指数矩的存在性。