[论文解读] On large deviations of additive functions

Maksym Radziwiłł|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2009

Analytic Number Theory Research参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文证明，在一个行为良好的类中，若两个加法函数表现出相似的极端偏离概率，则它们必须完全相同。它表明Kac-Kubilius模型在接近均值的极端偏离情况下能准确预测，但对于极端值则因大素数上的行为而出现常数因子的失败；并证明了整数上加法函数的分布由其在素数上的取值唯一确定，仅相差一个常数因子。

ABSTRACT

We prove that if two additive functions (from a certain class) take large values with roughly the same probability then they must be identical. The Kac-Kubilius model suggests that the distribution of values of a given additive function can be modeled by a sum of random variables. We show that the model is accurate (in a large deviation sense) when one is looking at values of the additive function around its mean, but fails, by a constant multiple, for large values of the additive function. We believe that this phenomenon arises, because the model breaks down for the values of the additive function on the "large" primes. In the second part of the paper, we are motivated by a question of Elliott, to understand how much the distribution of values of the additive function on primes determines, and is determined by, the distribution of values of the additive function on all of the integers. For example, our main theorem, implies that a positive, strongly additive function is roughly Poisson distributed on the integers if and only if it is $1+o(1)$ or $o(1)$ on almost all primes.

研究动机与目标

• 确定Kac-Kubilius概率模型在大偏离情形下准确预测加法函数分布的条件。
• 研究加法函数在素数上的分布对其在所有整数上分布的影响程度。
• 为类 $\mathcal{C}$ 中加法函数的大偏离概率建立精确渐近公式，特别是在 $\Delta = o(\sigma(f;x))$ 范围内。
• 解决Elliott提出的问题：即加法函数在素数与在所有整数上的分布之间的相互作用。

提出的方法

• 对类 $\mathcal{C}$ 中的加法函数使用改进的大偏离分析，该类由其在素数上的取值满足强正则性条件定义。
• 应用鞍点法与拉普拉斯变换技术，近似素数上和的尾部概率。
• 引入一个转移引理，通过生成函数 $\Psi(f;t)$ 将整数上加法函数的分布与它在素数上的行为联系起来。
• 利用结构定理比较 $f(n)$ 的实际分布与Kac-Kubilius模型，识别出在极端偏离时的失效模式。
• 通过矩估计与依分布收敛性，推导出 $\mathcal{D}_f(x;\Delta)$ 的渐近展开，即满足 $f(n)$ 偏离其均值 $\Delta$ 的整数 $n \leq x$ 的比例。
• 依赖对特征函数 $\Psi(f;t)$ 的精确分析及其在决定 $f(n)$ 尾部行为中的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，类 $\mathcal{C}$ 中的两个加法函数具有相同的极端偏离概率，何时必须完全相同？
• RQ2 Kac-Kubilius模型在预测加法函数的大偏离时有多准确，其失效点在哪里？
• RQ3 加法函数在整数上的分布在多大程度上由其在素数上的取值决定？
• RQ4 当 $\Delta = o(\sigma(f;x))$ 时，$\mathcal{D}_f(x;\Delta)$ 的精确渐近行为是什么？
• RQ5 Kac-Kubilius模型为何在大偏离时失效，其失效的本质是什么？

主要发现

• Kac-Kubilius模型在大偏离时因常数因子 $\mathcal{A}(f;\Delta/\sigma)$ 而失效，该因子小于1，表明其系统性地低估了尾部概率。
• 对任意 $\delta > 0$，大偏离概率 $\mathcal{D}_f(x;\Delta)$ 满足 $\sim \mathcal{A}(f;\Delta/\sigma) \cdot \mathbb{P}(\sum_p g(p)(X_p - 1/p) \geq \Delta \sigma)$，且在 $1 \leq \Delta \leq \delta \sigma(f;x)$ 范围内一致成立。
• 若一个正的强加法函数在整数上的分布近似为泊松分布，当且仅当其在素数上的取值几乎处处为 $1+o(1)$ 或 $o(1)$。
• 函数 $\mathcal{A}(f;z)$ 抓住了真实尾部概率与正态近似的偏差，且对所有 $z > 0$ 严格小于1，表明经典Erdös-Kac模型在大偏离情形下失效。
• 本文证明了 $\mathcal{D}_f(x;\Delta) \sim \mathbb{P}(\mathcal{Z}_\Psi(\sigma^2(f;x)) \geq \Delta \sigma(f;x))$ 在 $1 \leq \Delta \leq o(\sigma(f;x))$ 范围内一致成立，表明该模型在接近均值时具有准确性。
• Kac-Kubilius模型在大偏离时的失效主要源于大素数的贡献，此时模型的独立性假设被破坏。