[论文解读] On Large Induced Outerplanar Subgraphs in $2$-Outerplanar Graphs

Marco D’Elia, Fabrizio Frati|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2026

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一句话总结

该论文修正了先前证明中的一个缺陷，并给出一个新的归纳算法，证明任意 n 顶点的 2-outerplane 图至少存在一个大小为 2n/3 的诱导外平面子图。

ABSTRACT

Borradaile, Le and Sherman-Bennett [Graphs and Combinatorics, 2017] proved that every $n$-vertex $2$-outerplane graph has a set of at least $2n/3$ vertices that induces an outerplane graph. We identify a major flaw in their proof and recover their result with a different, and unfortunately much more complex, proof.

研究动机与目标

• 在 2-outerplane 图中识别并确定较大诱导外平面子图，为 Albertson–Berman 型林结果提供途径。
• 识别并修复现有证明中关于在 2-outerplane 图中存在较大诱导外平面子图的关键缺陷。
• 提供一个自包含、严格的构造性证明，在任意 n 顶点的 2-outerplane 图中得到一个大小为 2n/3 的外平面诱导子图。

提出的方法

• 复习并形式化与 2-outerplane 图、外平面嵌入及诱导子图相关的概念。
• 通过构造反例来演示声称 2n/3 上界的先前算法中的缺陷。
• 给出一个新的归纳算法：对给定的内部三连通的 2-outerplane 图，构建一个尽可能大的集合 I，使 |I| ≥ 2n/3 且 G[I] 是外平面的。
• 在 G[L2] 的终端分量及其 cage 图周围进行详尽的分情况分析，采用带有根的块-割顶树框架来引导递归化简。
• 证明在所有情况中都能完成归纳步骤，确保得到的子图保持外平面性质。

Figure 1 : Illustration for the correctness of Step 4 in the proof of Lemma ˜ 2.1 . The cycle $\mathcal{C}$ is represented by a thick line and the face $f$ is shaded orange.

实验结果

研究问题

• RQ1 任意 n 顶点的 2-outerplane 图是否包含一个大小至少为 2n/3 的诱导外平面子图？
• RQ2 先前由 Borradaile、Le 与 Sherman-Bennett 的证明在哪些地方出错，如何构造一个修正的论证？
• RQ3 哪些结构性分解（终端分量、 cage 图、带根的块-割顶树）能实现正确的归纳证明？
• RQ4 纠正后的方法是否给出在多项式时间内计算该大型诱导外平面子图的算法？
• RQ5 辅助构造（如棘手块 vs 舒适块）如何影响归纳步骤与停止条件？

主要发现

• 一个经修正的证明表明任意 n 顶点的 2-outerplane 图包含大小至少为 2n/3 的集合 I，使 G[I] 为外平面。
• 论文识别并解释了先前证明中的一个主要缺陷，并给出反例，展示先前方法的失败之处。
• 发展出围绕 G[L2] 的终端分量和 cage 图的全面分情况的归纳算法，以实现 2n/3 的界。
• 该构造确保在每一步 G[I] 仍然是外平面的，从而得到可在多项式时间内实现的流程（给出大致实现框架）。
• 工作阐明了 G[L2] 与 L1 结构之间的边界，并利用带根的对偶树与块-割顶树来指导化简。

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