[论文解读] On lattice models of gapped phases with fusion category symmetries

Kansei Inamura|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2021

Topological Materials and Phenomena被引用 4

一句话总结

本文利用基于 H-简单左 H-余模范代数的状态和 TQFT（拓扑量子场理论），为具有非异常融合范畴对称性的 1+1 维胶合相构建了拓扑量子场理论（TQFT）和对易投影算符哈密顿量，其中 H 是有限维半单霍普夫代数。关键结果是，融合范畴对称性在边界条件上的作用通过该融合范畴上的模范畴实现，从而提供了胶合相的晶格实现，并使得 SPT 相中边缘模式的研究成为可能。

ABSTRACT

We construct topological quantum field theories (TQFTs) and commuting projector Hamiltonians for any 1+1d gapped phases with non-anomalous fusion category symmetries, i.e. finite symmetries that admit SPT phases. The construction is based on two-dimensional state sum TQFT whose input datum is an $H$-simple left $H$-comodule algebra, where $H$ is a finite dimensional semisimple Hopf algebra. We show that the actions of fusion category symmetries $\mathcal{C}$ on the boundary conditions of these state sum TQFTs are represented by module categories over $\mathcal{C}$. This agrees with the classification of gapped phases with symmetry $\mathcal{C}$. We also find that the commuting projector Hamiltonians for these state sum TQFTs have fusion category symmetries at the level of the lattice models and hence provide lattice realizations of gapped phases with fusion category symmetries. As an application, we discuss the edge modes of SPT phases based on these commuting projector Hamiltonians. Finally, we mention that we can extend the construction of topological field theories to the case of anomalous fusion category symmetries by replacing a semisimple Hopf algebra with a semisimple pseudo-unitary connected weak Hopf algebra.

研究动机与目标

• 为具有非异常融合范畴对称性的 1+1 维胶合相，系统地构建拓扑量子场理论（TQFT）和对易投影算符哈密顿量。
• 建立具有融合范畴对称性的胶合相的晶格实现，填补现有文献中关于此类相的晶格模型研究的空白。
• 证明融合范畴对称性在边界条件上的作用由该融合范畴上的模范畴表示，与具有此类对称性的胶合相的分类一致。
• 利用所构建的对易投影算符哈密顿量分析 SPT 相的边缘模式。
• 通过用半单伪单位元连通弱霍普夫代数替代半单霍普夫代数，将构造推广至异常融合范畴对称性。

提出的方法

• 该构造使用以 H-简单左 H-余模范代数为输入的状态和 TQFT，其中 H 是有限维半单霍普夫代数。
• 论文引入了通过张量函子 F: C → C′ 的 TQFT 拉回过程，推广了通过群同态拉回 SPT 相的构造。
• 证明状态和 TQFT 的边界条件携带融合范畴 C 上的模范畴结构，从而显式实现对称性作用。
• 从状态和 TQFT 推导出对易投影算符哈密顿量，其在晶格层次上继承了融合范畴对称性。
• 通过用半单伪单位元连通弱霍普夫代数替代半单霍普夫代数，将该框架推广至异常对称性。
• 通过双模及关联线性映射对 TQFT 的界面与节点进行建模，对缺陷构型显式分配向量空间与线性映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地为具有非异常融合范畴对称性的 1+1 维胶合相构建 TQFT 与对易投影算符哈密顿量？
• RQ2 在 TQFT 框架中，融合范畴对称性在边界条件上的作用如何被数学表示？
• RQ3 状态和 TQFT 的构造能否推广以包含具有融合范畴对称性的不同 TQFT 之间的界面与节点？
• RQ4 模范畴在分类具有融合范畴对称性的 TQFT 的边界条件中起什么作用？
• RQ5 如何通过弱霍普夫代数将构造推广至异常融合范畴对称性？

主要发现

• 状态和 TQFT 的边界条件上，融合范畴对称性的作用通过该融合范畴上的模范畴实现，证实了具有此类对称性的胶合相的分类。
• 从状态和 TQFT 构建的对易投影算符哈密顿量在晶格层次上表现出融合范畴对称性，提供了胶合相的显式晶格实现。
• 利用所构建的哈密顿量分析了具有融合范畴对称性的 SPT 相的边缘模式，揭示了其拓扑性质。
• 通过张量函子的拉回构造可系统地从基础 TQFT 生成具有任意非异常融合范畴对称性的 TQFT。
• 通过用半单伪单位元连通弱霍普夫代数替代半单霍普夫代数，将框架推广至异常融合范畴对称性，使构造超越非异常情形。
• 通过为缺陷构型分配向量空间与线性映射，并利用双模与模映射编码拓扑数据，实现了状态和 TQFT 中界面与节点的包含。