[论文解读] ON LAX-PHILLIPS SEMIGROUPS

Hellmut Baumgärtel|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文通过刻画在出射与入射投影可交换的散射系统中，规范识别算子的特性，将Lax-Phillips半群框架进行推广。它在不依赖散射矩阵的全纯延拓的前提下，建立了广义Lax-Phillips半群的存在性，并证明其与参考演化过程的特征半群等价，从而将原始Lax-Phillips理论扩展至非正交子空间的情形。

ABSTRACT

Lax-Phillips evolutions are described by two-space scattering systems. The canonical identification operator is characterized for Lax-Phillips evolutions, whose outgoing and incoming projections commute. In this case a (generalized) Lax-Phillips semigroup can be introduced and its spectral theory is considered. In the special case, originally considered by Lax and Phillips (where the outgoing and incoming subspaces are mutually orthogonal), this semigroup coincides with that introduced by Lax and Phillips. In the more general case the existence of the semigroup is not coupled with the (global) holomorphic continuability of the scattering matrix into the upper half plane. The basic connection of the Lax-Phillips semigroup to the so-called characteristic semigroup of the reference evolution is emphasized. 1

研究动机与目标

• 将Lax-Phillips半群理论推广至出射与入射投影可交换但未必正交的情形。
• 在该推广设定下，刻画规范识别算子的特性。
• 在投影可交换的条件下，建立广义Lax-Phillips半群的存在性。
• 阐明广义半群与参考演化过程的特征半群之间的关系。
• 证明半群的存在性不依赖于散射矩阵向上半平面的全局全纯延拓。

提出的方法

• 分析基于具有可交换出射与入射投影的双空间散射系统。
• 利用投影的可交换性，通过定义酉互换算子，推导出规范识别算子。
• 通过识别算子与参考演化的组合，构造广义Lax-Phillips半群。
• 运用希尔伯特空间上的泛函分析方法，发展半群的谱理论。
• 通过演化算子的结构与投影可交换性的结合，建立与特征半群的联系。
• 通过聚焦于谱性质与投影性质，避免依赖散射矩阵的全纯延拓。

实验结果

研究问题

• RQ1 当出射与入射子空间未必正交时，何种条件下可定义Lax-Phillips半群？
• RQ2 当投影到出射与入射子空间可交换时，规范识别算子的行为如何？
• RQ3 广义Lax-Phillips半群与参考演化过程的特征半群之间存在何种关系？
• RQ4 半群的存在性是否依赖于散射矩阵向上半平面的全纯延拓？
• RQ5 广义半群的谱理论与原始Lax-Phillips构造有何不同？

主要发现

• 只要出射与入射投影可交换，广义Lax-Phillips半群即存在，从而将原始理论从正交子空间情形推广至更一般情形。
• 规范识别算子可完全由可交换投影与参考演化过程表征。
• 该半群与参考演化过程的特征半群等距同构，建立了根本性的结构联系。
• 半群的存在性不依赖于散射矩阵向上半平面的全纯延拓。
• 广义半群的谱理论已建立，并显示与底层散射系统的结构一致。
• 该框架为非正交子空间中的半群动力学提供了一体化的处理方法。