[论文解读] On level and collision sets of some Feller processes

Victoria Knopova, René L. Schilling|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文通过时间改变过程和潜在论方法，利用过渡密度估计，为一类具有过渡密度估计的 Feller 过程的水平集和碰撞集的 Hausdorff 维数建立了上界和下界。通过引入 Kato 类条件和基于特征符号的分析，将 Lévy 过程的结果推广到缺乏独立或平稳增量的 Feller 过程，证明在一维情况下，零水平集的维数等于碰撞集的维数，二者均由过程的标度指数决定。

ABSTRACT

This paper is about lower and upper bounds for the Hausdorff dimension of the level and collision sets of a class of Feller processes. Our approach is motivated by analogous results for Lévy processes by Hawkes (for level sets), Taylor and Jain & Pruitt (for collision sets). Since Feller processes lack independent or stationary increments, the methods developed for Lévy processes cannot be used in a straightforward manner. Under the assumption that the Feller process possesses a transition probability density, which admits lower and upper bounds of a certain type, we derive sufficient conditions for regularity and non-polarity of points; together with suitable time changes this allows us to get upper and lower bounds for the Hausdorff dimension.

研究动机与目标

• 推导 Feller 过程在具有过渡密度界条件下的点的正则性和非极性的充分条件。
• 将 Lévy 过程的维数结果推广到缺乏独立或平稳增量的 Feller 过程。
• 通过时间改变过程，为 $d$-集的水平集建立 Hausdorff 维数的统一上界和下界。
• 分析一维两个独立 Feller 过程的碰撞集的 Hausdorff 维数。
• 刻画一维遍历 Feller 过程中零水平集和碰撞集的确切维数。

提出的方法

• 使用子ordination（通过独立的递增 Lévy 过程进行时间改变）将原始 Feller 过程与具有已知标度性质的时间改变过程关联起来。
• 应用相对于过渡密度的 Kato 类条件，以刻画正则点和极点。
• 通过涉及稳定子ordinator和复合核型密度界的相关积分估计，推导潜在测度的上界和下界。
• 利用对称 $\beta$-稳定过程的像作为量纲表达碰撞集的 Hausdorff 维数。
• 利用指数 $\gamma_{\inf}$ 和 $\gamma_{\sup}$ 来刻画时间改变过程在集合 $D$ 附近的性质。
• 利用控制收敛定理和 Gamma 积分恒等式，分析当 $T \to 0$ 时积分的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有过渡密度界条件的 Feller 过程中，Borel 集 $D$ 的点在何种条件下是正则的？
• RQ2 对于缺乏独立增量的 Feller 过程，如何对水平集的 Hausdorff 维数进行界定？
• RQ3 在一维 Feller 过程中，零水平集的确切 Hausdorff 维数是多少？
• RQ4 零水平集的维数与两个独立过程副本的碰撞集维数之间存在何种关系？
• RQ5 如何通过与对称稳定过程的极集比较，来界定联合过程 $(X^1, X^2)$ 的碰撞集维数？

主要发现

• 对于一维遍历 Feller 过程，零水平集 $\{s: X_s = 0\}$ 的 Hausdorff 维数等于 $\gamma_{\inf}/\gamma_{\sup}$，其中 $\gamma_{\inf}$ 和 $\gamma_{\sup}$ 是过程的标度指数。
• 碰撞集 $A(\omega) = \{x: X^1_t = X^2_t = x \text{ 对某个 } t > 0\}$ 的 Hausdorff 维数同样为 $\gamma_{\inf}/\gamma_{\sup}$，与零水平集维数一致。
• 通过相对于过渡密度 $p_t(x,y)$ 的 Kato 类条件，推导出非极性和正则点的充分条件。
• 通过时间改变过程和涉及稳定子ordinator的积分估计，为 $d$-集的水平集的 Hausdorff 维数建立了统一的上界和下界。
• 在 Kato 类假设下，潜在测度 $\int_0^T \int_D p_t^{(\gamma)}(x,y) \varpi(dy) dt$ 的下界由 $\varpi\{y \in D: |x-y| \leq u\}$ 和函数 $(q^*)^\gamma(1/u)$ 的乘积项给出。
• 通过 Gamma 积分和控制收敛定理的渐近分析表明，某些积分在 $T \to 0$ 时趋于零，从而支持了正则性和非极性结果。