[论文解读] On lifting of biadjoints and lax algebras

Fernando Lucatelli Nunes|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文確立了將雙伴隨函子提升至偽雙monad上的雙分類法中之雙分類法的普遍條件，將雙伴隨三角形定理推廣至雙分類法設定。證明若一個右雙伴隨偽函子在雙分類法中提升至雙分類法，且其定義域具有足夠的加權雙分類極限——特別是雙分類對偶對象——則其仍保持右雙伴隨性，進而為2-單元論與2維通用代數中的新一致性結果提供支持。

ABSTRACT

By the biadjoint triangle theorem, given a pseudomonad $\mathcal{T} $ on a $2$-category $\mathfrak{B} $, if a right biadjoint $\mathfrak{A} o\mathfrak{B} $ has a lifting to the pseudoalgebras $\mathfrak{A} o\mathsf{Ps} extrm{-}\mathcal{T} extrm{-}\mathsf{Alg} $ then this lifting is also right biadjoint provided that $\mathfrak{A} $ has codescent objects. In this paper, we give general results on lifting of biadjoints. As a consequence, we get a extit{biadjoint triangle theorem} which, in particular, allows us to study triangles involving the $2$-category of lax algebras, proving analogues of the result described above. More precisely, we prove that, denoting by $\ell :\mathsf{Lax} extrm{-}\mathcal{T} extrm{-}\mathsf{Alg} o\mathsf{Lax} extrm{-}\mathcal{T} extrm{-}\mathsf{Alg}_\ell $ the inclusion, if $R: \mathfrak{A} o\mathfrak{B} $ is right biadjoint and has a lifting $J: \mathfrak{A} o \mathsf{Lax} extrm{-}\mathcal{T} extrm{-}\mathsf{Alg} $, then $\ell\circ J$ is right biadjoint as well provided that $\mathfrak{A} $ has some needed weighted bicolimits. In order to prove such theorem, we study the descent objects and the lax descent objects. At the last section, we study direct consequences of our theorems in the context of the $2$-monadic approach to coherence. In particular, we give the construction of the left $2$-adjoint to the inclusion of the strict algebras into the lax algebras.

研究动机与目标

• 將雙伴隨三角形定理推廣至雙分類法的背景，延伸先前對偽代數的結果。
• 確立右雙伴隨偽函子進入雙分類法時，能提升至雙分類法且保持雙伴隨性的充分條件。
• 提供一個構造代數雙分類法包含函子之左雙伴隨的框架，特別是在2-單元論一致性的情境下。
• 研究加權雙分類極限——特別是雙分類對偶對象與對偶對象——在提升雙伴隨關係中的角色。
• 將結果應用於推導2-單元論與偽雙monad的一般一致性定理，包括高維範疇論中的嚴格與柔韌取代。

提出的方法

• 使用偽自然變換與加權雙分類極限，將雙伴隨三角形定理推廣至雙分類法。
• 引入並分析雙分類對偶對象與對偶對象，作為提升雙伴隨關係的關鍵工具。
• 應用偽雙monad的形式理論與2維通用代數，以處理非嚴格的代數結構。
• 使用偽自然等價與一致性資料，定義並驗證雙伴隨關係提升條件。
• 將結果應用於2-單元論的一致性方法，專注於不同型態態射之代數雙分類法之間的包含關係。
• 運用圖形化推理與2-範疇極限（例如加權雙分類極限）來描述何時提升能保持雙伴隨性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，一個右雙伴隨偽函子進入雙分類法能提升至雙分類法，且仍保持右雙伴隨？
• RQ2 何種加權雙分類極限——特別是哪種對偶對象——能確保此類提升保持雙伴隨性？
• RQ3 如何將雙伴隨三角形定理適應至雙分類法設定？其精確假設為何？
• RQ4 在何種情境下，代數雙分類法的包含關係（例如嚴格、偽、雙分類）會有左雙伴隨？其基底雙分類法需具備何種結構條件？
• RQ5 結果如何推廣至偽雙monad？對偽雙monad需具備何種條件，以確保包含關係至雙分類法中存在左雙伴隨？

主要发现

• 若雙分類法 A 具有足夠的雙分類對偶對象，則右雙伴隨偽函子 R: A → B 可提升為偽函子 J: A → Lax-T-Alg，且 J 仍保持右雙伴隨。
• 當且僅當 A 對應於雙分類 T-代數的特定圖形具有雙分類對偶對象時，複合函子 ℓ∘J 為右雙伴隨。
• 若 T₁-Algs 具有雙分類對偶對象，則包含函子 T₁-Algs → Lax-T₁-Algℓ 有左雙伴隨，此結果推廣了2-單元論的一致性結果。
• 對於偽雙monad T，若 Ps-T-Alg 具有雙分類對偶對象，或具有對偶對象，則包含函子 Ps-T-Alg → Lax-T-Alg 有左雙伴隨。
• 若偽雙monad T 保持雙分類對偶對象，則 Ps-T-Alg 繼承這些對偶對象，從而滿足包含函子至 Lax-T-Alg 存在左雙伴隨的假設條件。
• 本研究結果提供了一套系統化的方法，用以構造代數雙分類法包含函子的左雙伴隨，進而實現2維通用代數中的一般一致性定理。