[论文解读] On limitation of mass spectrum in non-Hermitian $\cal PT$-symmetric models with the $\gamma_5$-dependent mass term

V.N. Rodionov|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2013

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文研究了具有 γ₅ 依赖质量项 m → m₁ + γ₅m₂ 的非厄米 PT 对称狄拉克模型，表明物理质量受限于 m ≤ m₁²/(2m₂)，当 m₂ = m₁/√2 时达到最大质量 m_max = m₁²/(2m₂)。未破缺 PT 对称性区域被划分为三个子区域，其中仅第一个子区域（m₂ < m₁/√2）允许厄米极限并描述普通费米子，而第三个子区域（m₂ > m₁/√2）则描述无厄米极限的奇异粒子。

ABSTRACT

The modified Dirac equations for the massive particles with the replacement of the physical mass $m$ with the help of the relation $m ightarrow m_1 + \gamma_5 m_2$ are investigated. It is shown that for a free fermion theory with a $\gamma_5$ mass term, the finiteness of the mass spectrum at the value $ m_{max}= {m_1}^2/2m_2$ takes place. In this case the region of the unbroken $\cal PT$-symmetry may be expressed by means of the simple restriction of the physical mass $m\leq m_{max}$. Furthermore, we have that the areas of unbroken $\cal PT$-symmetry $m_1\geq m_2\geq 0$, which guarantees the reality values of the physical mass $m$, consists of three different parametric subregions: i) $0\leq m_2 < m_1/\sqrt{2}$, \,\,ii) $m_2=m_1/\sqrt{2}=m_{max},$ \,\,(iii)$m_1/\sqrt{2}< m_2 \leq m_1$. It is vary important, that only the first subregion (i) defined mass values $m_1,m_2,$ which correspond to the description of traditional particles in the modified models, because this area contain the possibility transform the modified model to the ordinary Dirac theory. The second condition (ii) is defined the "maximon" - the particle with maximal mass $m=m_{max}$. In the case (iii) we have to do with the unusual or "exotic" particles for description of which Hamiltonians and equations of motion have no a Hermitian limit. The formulated criterions may be used as a major test in the process of the division of considered models into ordinary and "exotic fermion theories".

研究动机与目标

• 本文旨在澄清非厄米 PT 对称费米子模型中 γ₅ 依赖质量项的物理诠释。
• 研究谱保持实数且理论在 PT 对称性下未破缺的条件。
• 基于参数 m₁ 和 m₂ 的行为，区分此类模型中普通费米子与奇异粒子。
• 建立最大质量的几何方法与代数非厄米场论之间的联系。
• 旨在提供一个标准，以分类模型是描述标准费米子还是奇异费米子。

提出的方法

• 研究采用带 γ₅ 依赖质量项的修正狄拉克方程：(iγᵘ∂ᵤ - m₁ - γ₅m₂)ψ = 0。
• 应用 PT 对称性分析，以确定谱保持实数的区域。
• 引入度量算符 η = e^{γ₅ϑ}，其中 ϑ = arctanh(m₂/m₁)，以将非厄米哈密顿量与厄米哈密顿量关联起来。
• 推导出物理质量 m = √(m₁² + m₂²)，并证明在未破缺 PT 对称性下有 m ≤ m_max = m₁²/(2m₂)。
• 根据 m₁ 和 m₂ 将参数空间划分为三个子区域，并分析厄米极限的存在性。
• 使用权算符 η 定义正定内积，确保概率守恒。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 γ₅ 依赖质量项的非厄米 PT 对称狄拉克模型中，允许的最大物理质量是多少？
• RQ2 在什么 m₁ 和 m₂ 条件下，该模型表现出未破缺 PT 对称性？
• RQ3 当 m₂ < m₁/√2、m₂ = m₁/√2 和 m₂ > m₁/√2 时，粒子的物理性质有何不同？
• RQ4 该具有 γ₅ 质量项的模型是否能在任何极限下约化为标准狄拉克理论？若能，需满足什么条件？
• RQ5 在此框架中，'奇异'费米子与普通费米子有何区别，特别是关于其缺乏厄米极限的特性？

主要发现

• 物理质量在 m_max = m₁²/(2m₂) 处受到上界限制，该值在 m₂ = m₁/√2 时达到。
• 未破缺 PT 对称性区域由 m₁² ≥ m₂² 定义，其被划分为三个子区域：(i) 0 ≤ m₂ < m₁/√2，(ii) m₂ = m₁/√2，(iii) m₁/√2 < m₂ ≤ m₁。
• 仅在子区域 (i) 中，模型允许厄米极限，对应于普通费米子。
• 子区域 (ii) 对应于 '最大子'（maximon）——一种具有最大质量 m_max = m₁²/(2m₂) 的粒子。
• 子区域 (iii) 描述了缺乏厄米极限、无法约化为标准狄拉克理论的'奇异'费米子。
• 参数 m₁ 和 m₂ 为辅助量；物理内容由组合 m = √(m₁² + m₂²) 决定，其中 m_max = m₁²/(2m₂) 为上界。