[论文解读] On limits of Graphs Sphere Packed in Euclidean Space and Applications

Itaï Benjamini, Nicolas Curien|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文将圆堆积理论从二维推广至高维，证明在 $\mathbb{R}^d$ 中以均匀选择的根对有限图进行球体堆积时，其极限为 $d$-抛物。关键结果建立了一个几何等周二分性：在 $\mathbb{R}^d$ 中堆积的任一无限图，其等周常数要么为正，要么存在任意大的有限集合 $W$ 满足 $|\partial W| \leq |W|^{\frac{d-1}{d}+o(1)}$，从而将球体堆积与 $d$-维势论联系起来。

ABSTRACT

The core of this note is the observation that links between circle packings of graphs and potential theory developed in \cite{BeSc01} and \cite{HS} can be extended to higher dimensions. In particular, it is shown that every limit of finite graphs sphere packed in $\R^d$ with a uniformly-chosen root is $d$-parabolic. We then derive few geometric corollaries. E.g.\,every infinite graph packed in $\R^{d}$ has either strictly positive isoperimetric Cheeger constant or admits arbitrarily large finite sets $W$ with boundary size which satisfies $ |\partial W| \leq |W|^{\frac{d-1}{d}+o(1)}$. Some open problems and conjectures are gathered at the end.

研究动机与目标

• 将图的球体堆积与势论之间的联系从二维推广至高维（$d \geq 3$）
• 证明在 $\mathbb{R}^d$ 中以均匀根对进行球体堆积的有限图的极限为 $d$-抛物
• 推导几何后果，特别是无限堆积图的等周二分性
• 识别 $\mathbb{R}^d$ 中 $M$-一致堆积的障碍，尤其是对圈长增长的正则图

提出的方法

• 将 [4] 和 [11] 中关于圆堆积与 $L^2$ 势论的技术 adapted 至 $d$-维球体堆积
• 将 $d$-抛物性用作随机游动中常返性的高维类比
• 通过 $M$-一致条件对球体半径比进行控制，应用修改后的环引理以处理高维堆积
• 对有限图使用弱极限论证以分析无限极限图
• 利用极限图的 $d$-抛物性及边界集结构推导几何后果
• 应用等周准则排除某些堆积，如 $\mathbb{Z}^{d+1}$ 在 $\mathbb{R}^d$ 中的堆积

实验结果

研究问题

• RQ1 图在 $\mathbb{R}^d$ 中 $M$-一致球体堆积的必要与充分条件是什么？
• RQ2 能否构造出一个自然的图族，使其在 $\mathbb{R}^d$ 中 $M$-一致可堆积？
• RQ3 尽管海森堡群 $\mathbf{H}_3(\mathbb{Z})$ 的 Cayley 图是 $4$-抛物，它是否仍能在 $\mathbb{R}^d$ 中实现球体堆积？
• RQ4 图是否可能拥有两个在 $\mathbb{R}^d \cup \{\infty\}$ 中具有不同聚点集的球体堆积？
• RQ5 有限、有界度、$\mathbb{R}^d$-堆积图的混合时间是否至少为 $C_d \cdot \text{diameter}(G)^2$？

主要发现

• 在 $\mathbb{R}^d$ 中以均匀根对进行球体堆积的有限图的任意极限均为 $d$-抛物
• 在 $\mathbb{R}^d$ 中堆积的任一无限图，其等周常数要么为正，要么存在任意大的有限集合 $W$ 满足 $|\partial W| \leq |W|^{\frac{d-1}{d}+o(1)}$
• $\mathbb{Z}^{d+1}$ 无法在 $\mathbb{R}^d$ 中对任意 $M \geq 0$ 实现 $M$-一致堆积，因其非抛物性
• 圈长增长的 $k$-正则图序列无法在任一固定维数 $d$ 中对 $k > 2$ 实现 $M$-一致堆积，因为其弱极限为 $k$-正则树
• $\mathbb{Z}^d$ 的抛物指数为 $d$，$k$-正则树的抛物指数为无穷，这阻碍了其在 $\mathbb{R}^d$ 中的 $M$-一致堆积
• 本文推导的等周准则最近被用于证明当 $d \geq 5$ 时，$\mathbb{R}^d$ 中不存在锐角三角剖分