[论文解读] On linear complementary-dual multinegacirculant codes

Adel Alahmadi, Cem Güneri̇+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文表征了索引 $ t \geq 2 $ 的线性互补对偶（LCD）多重负循环码，特别关注生成元为一个的码，其共索引为2的幂。通过中国剩余定理与狄克逊多项式的代数分解，证明了存在无限多组此类码，其相对距离超过经典瓦尔沙莫夫-吉尔伯特界，表明其渐近性能优于标准界限。

ABSTRACT

Linear codes with complementary-duals (LCD) are linear codes that intersect with their dual trivially. Multinegacirculant codes of index $2$ that are LCD are characterized algebraically and some good codes are found in this family. Exact enumeration is performed for indices 2 and 3, and for all indices $t$ for a special case of the co-index by using their concatenated structure. Asymptotic existence results are derived for the special class of such codes that are one-generator and have co-index a power of two by means of Dickson polynomials. This shows that there are infinite families of LCD multinegacirculant codes with relative distance satisfying a modified Varshamov-Gilbert bound.

研究动机与目标

• 通过代数方法表征线性互补对偶（LCD）多重负循环码，尤其针对索引 $ t = 2 $ 和 $ t = 3 $ 的情况。
• 推导出索引 $ t = 2 $ 和 $ t = 3 $ 的 LCD 码，以及在特定共索引条件下一般 $ t $ 的 LCD 码的精确计数公式。
• 建立生成元为一个的 LCD 多重负循环码的渐近存在性结果，其共索引为2的幂。
• 证明此类码的相对距离满足修正的瓦尔沙莫夫-吉尔伯特界，表明其为渐近优良码。

提出的方法

• 利用 $ a_1'a_1'' + \cdots + a_{t-1}'a_{t-1}'' \neq -1 $ 的条件，对 LCD 双重负循环码进行代数表征，该条件源自对偶性及 $ R(m,\mathbb{F}_q) $ 上的模结构。
• 应用中国剩余定理，当 $ x^n + 1 $ 分解为两个不可约互反多项式时，将环 $ \mathbb{F}_q[x]/\langle x^n + 1 \rangle $ 分解为局部环的乘积。
• 利用狄克逊多项式分析有限域上对角方程的解数，这对渐近计数至关重要。
• 利用多重负循环码的串联结构，通过解集上的组合论证，推导出 LCD 码的精确计数。
• 采用删减随机编码技术，推导出最小距离的下界，从而得到修正的瓦尔沙莫夫-吉尔伯托界。
• 利用当 $ n $ 为奇素数的幂且 $ q $ 为奇数时，$ x^n + 1 $ 在 $ \mathbb{F}_q $ 上的因式分解，以实现分解与渐近分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为索引 $ t = 2 $ 和 $ t = 3 $ 的 LCD 多重负循环码，以及在特定共索引条件下的一般 $ t $，推导出精确的计数公式？
• RQ2 是否存在无限多组生成元为一个的 LCD 多重负循环码，其相对距离超过经典瓦尔沙莫夫-吉尔伯特界？
• RQ3 当共索引为2的幂且 $ x^n + 1 $ 分解为两个不可约互反多项式时，此类码的渐近性能如何？
• RQ4 有限域上对角方程的解数如何影响这些码的计数与最小距离？
• RQ5 能否利用准循环码的结构来构造具有更优距离特性的 LCD 码？

主要发现

• 当索引 $ t = 2 $ 时，LCD 双重负循环码的数量为 $ q^{n} - \left(q^{n/2} - \eta(-1)\right) $，其中 $ \eta $ 为二次特征。
• 当索引 $ t \geq 2 $ 且共索引为2的幂时，LCD 多重负循环码的数量为 $ q^{n(t-1)} - \left(q^{n(2t-3)/2} - \eta((-1)^{t-1})q^{n(t-2)/2}\right) $，该结果通过解对角方程的计数推导得出。
• 当 $ x^n + 1 $ 在 $ \mathbb{F}_q $ 上分解为两个不可约互反多项式时，环的分解使得精确计数与渐近分析成为可能。
• 生成元为一个的 LCD 多重负循环码的渐近性能满足 $ H_q(\delta) \geq \frac{t-1}{2t} $，表明其优于标准瓦尔沙莫夫-吉尔伯托界。
• 存在无限多组此类码，其相对距离 $ \delta $ 满足修正的界，证明了其渐近优良性。
• 该构造在中等长度下可产生最小距离最优或近似最优的码，尤其适用于 $ t = 2 $ 和 $ t = 3 $。