[论文解读] On linear evolution equations with cylindrical Lévy noise

Enrico Priola, Jerzy Zabczyk|ArXiv.org|Aug 3, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用 9

一句话总结

本文建立了线性随机演化方程在柱形Lévy噪声驱动下，其几乎必然取值于希尔伯特空间H的充要条件，适用于所有t > 0。证明了若解在任意正时间进入H，则其几乎必然保持在H中，并在Lévy测度满足温和条件时，进一步建立了相关Ornstein-Uhlenbeck过程的不可约性，将结果推广至无限维空间中的非高斯、非维纳噪声。

ABSTRACT

We study an infinite-dimensional Ornstein-Uhlenbeck process $(X_t)$ in a given Hilbert space $H$. This is driven by a cylindrical symmetric Lévy process without a Gaussian component and taking values in a Hilbert space $U$ which usually contains $H$. We give if and only if conditions under which $X_t$ takes values in $H$ for some $t>0$ or for all $t>0$. Moreover, we prove irreducibility for $(X_t)$.

研究动机与目标

• 表征线性随机演化方程在柱形Lévy噪声驱动下，解对所有t > 0保持在状态空间H中的条件。
• 在Lévy测度满足温和假设下，建立相关马尔可夫过程的不可约性。
• 将结果从高斯（维纳）噪声推广至无限维设置下的广义对称非高斯Lévy噪声。
• 为在非高斯设置下研究强Feller性质与不变测度提供基础。

提出的方法

• 利用柱形Lévy噪声驱动的线性SPDE解的随机卷积表示。
• 应用Lévy-Khintchine公式刻画噪声及其Lévy测度的特征函数。
• 通过H中的标准正交基与独立的一维Lévy过程，对噪声进行谱分解。
• 分析解分量的Lévy测度，以验证不可约性的支撑条件。
• 利用噪声分量的独立性与全支撑性论证，证明解的分布在H中具有全支撑。
• 应用无限维Lévy过程与无限可分分布的相关结果，推导路径与概率性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，柱形Lévy噪声驱动的线性SPDE的解对所有t > 0取值于希尔伯特空间H？
• RQ2 解过程在何时不可约，即在任意正时间，其以正概率到达H中任意开球？
• RQ3 噪声的Lévy测度与解在H中路径正则性之间的精确关系为何？
• RQ4 在非高斯噪声下，能否建立强Feller性质？主要障碍是什么？
• RQ5 噪声的结构——特别是序列(βₙ)与Lévy过程(Zₙ)——如何影响解在H中的行为？

主要发现

• 若解Xₜˣ在某t₀ > 0时几乎必然属于H，则其对所有t > 0几乎必然保持在H中。
• 当Lévy测度ν的支撑包含0时，解过程(Xₜˣ)在H中不可约。
• 当每个一维分量Zₙ的Lévy测度的支撑包含0时，不可约性成立，从而确保解的分布具有H中的全支撑。
• 在噪声分量满足特定可积性与谱衰减条件时，该过程有定义且取值于H。
• 结果适用于由柱形Lévy噪声驱动的带狄利克雷边界条件的随机热方程。
• 本文为解的H-正则性提供了必要且充分条件，将先前关于α稳定噪声的结果推广至广义对称Lévy噪声。