[论文解读] On linear groups over weakly locally finite division rings

Bui Xuan Hai, Mai Hoang Bien+1 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2013

Rings, Modules, and Algebras参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文引入了弱局部有限除环——局部有限除环的推广，其中每个有限生成子环均为中心有限。研究证明，在非交换、代数性的弱局部有限除环中，线性群如 $GL_n(D)$ 和 $SL_n(D)$ 不是有限生成的，且其导群的中心为扭群，推广了中心有限情形下的已知结果。

ABSTRACT

In this paper, we give the definition of {\em weakly locally finite} division rings and we show that the class of these rings strictly contains the class of locally finite division rings. Further, we study multiplicative subgroups in these rings. Some skew linear groups are also considered. Our new obtained results generalize previous results for centrally finite case.

研究动机与目标

• 定义并刻画弱局部有限除环，即局部有限除环的推广。
• 研究此类环上的乘法子群与线性群，尤其关注代数情形。
• 将已知的中心有限除环中线性群的结果推广至更广泛的弱局部有限除环类。
• 在弱局部有限除环的背景下解决Herstein的一个猜想。
• 建立 $GL_n(D)$ 和 $SL_n(D)$ 的结构约束，表明在非交换代数情形下它们无法有限生成。

提出的方法

• 将弱局部有限除环定义为每个有限生成子环均为中心有限的除环。
• 通过在具有无限多个平方根的域上使用Mal’cev-Neumann型洛朗级数构造，构建一个非代数性的弱局部有限除环。
• 利用伽罗瓦群作用与自同构定义环结构，并验证其弱局部有限性。
• 应用Jacobson定理（关于有限域上代数的除环）推导出某些情形下的交换性。
• 分析导群 $D'$ 的中心及其与线性群中扭元素的关系。
• 运用涉及阿贝尔化与有限生成性的群论论证，在有限生成假设下导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 局部有限、中心有限与弱局部有限除环之间有何关系？
• RQ2 弱局部有限除环是否可能不是代数的？若可能，能否显式构造出此类环？
• RQ3 在弱局部有限除环 $D$ 下，$GL_n(D)$ 或 $SL_n(D)$ 在何种条件下是有限生成的？
• RQ4 弱局部有限除环中导群 $D'$ 的中心是否仅由扭元素构成？
• RQ5 中心有限除环中线性群的结果在多大程度上可推广至弱局部有限情形？

主要发现

• 存在一个非代数性的弱局部有限除环，表明弱局部有限除环类严格包含局部有限除环类。
• 每个局部有限除环都是弱局部有限的，但反之不成立，此结论由所构造的例子证实。
• 在非交换、代数性、弱局部有限除环中，对任意 $n \geq 1$，群 $GL_n(D)$ 均非有限生成。
• 弱局部有限除环中导群 $D'$ 的中心是一个扭群。
• 若对 $n \geq 1$ 有 $GL_n(D)$ 有限生成，则 $D$ 必为交换环。
• 在相同的代数性与弱局部有限性假设下，若 $GL_n(D)$ 存在极大有限生成子群，则 $D$ 必为交换环。