[论文解读] On Linear Index Coding for Random Graphs

Ishay Haviv, Michael Langberg|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2011

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文研究了在有限域 F 上的 Erdős–Rényi 随机图 G(n, p) 的线性索引编码的最小长度。引入了两种受限模型——局部可解码和低密度索引编码——并证明对于常数 p 和固定域 F，G(n, p) 的最小秩几乎必然为 Ω(√n)，在查询或稀疏性约束下可获得更强的 ω(√n) 下界，表明改进低密度编码的界即可突破 √n 的障碍。

ABSTRACT

A sender wishes to broadcast an n character word x in F^n (for a field F) to n receivers R_1,...,R_n. Every receiver has some side information on x consisting of a subset of the characters of x. The side information of the receivers is represented by a graph G on n vertices in which {i,j} is an edge if R_i knows x_j. In the index coding problem the goal is to encode x using a minimum number of characters in F in a way that enables every R_i to retrieve the ith character x_i using the encoded message and the side information. An index code is linear if the encoding is linear, and in this case the minimum possible length is known to be equal to a graph parameter called minrank (Bar-Yossef et al., FOCS'06). Several bounds on the minimum length of an index code for side information graphs G were shown in the study of index coding. However, the minimum length of an index code for the random graph G(n,p) is far from being understood. In this paper we initiate the study of the typical minimum length of a linear index code for G(n,p) over a field F. First, we prove that for every constant size field F and a constant p, the minimum length of a linear index code for G(n,p) over F is almost surely Omega(\sqrt{n}). Second, we introduce and study the following two restricted models of index coding: 1. A locally decodable index code is an index code in which the receivers are allowed to query at most q characters from the encoded message. 2. A low density index code is a linear index code in which every character of the word x affects at most q characters in the encoded message. Equivalently, it is a linear code whose generator matrix has at most q nonzero entries in each row.

研究动机与目标

• 理解在有限域 F 上，随机图 G(n, p) 的线性索引编码的典型最小长度。
• 引入并分析两种受限模型——局部可解码索引编码与低密度索引编码——以推导出 G(n, p) 最小秩的更强下界。
• 表明改进低密度索引编码的下界足以突破一般线性索引编码的 Ω(√n) 障碍。
• 研究局部可解码索引编码中查询复杂度与编码长度之间的关系。

提出的方法

• 利用概率论与极值组合技术，证明对于常数 p 和固定域 F，G(n, p) 的最小秩几乎必然为 Ω(√n)。
• 引入局部可解码索引编码，其中接收方最多从编码消息中查询 q 个位置，并推导出当 q = eΩ(n^{1/3}) 时，编码长度的下界为 eΩ(n/q)。
• 引入低密度索引编码，其中每个输入符号最多影响 q 个输出符号，对应于每行非零元数不超过 q 的生成矩阵。
• 应用生成矩阵行空间中 1-相交 k-依赖集族的递归构造，以推导下界。
• 对可能的生成矩阵使用并集界，并估计所有顶点均被生成矩阵张成空间中某个码字满足的概率。
• 采用一种约化方法，表明若对满足 q = ω(1) 的低密度编码存在 ω(√n) 的下界，则该下界也适用于一般线性编码。

实验结果

研究问题

• RQ1 在固定有限域 F 上，随机图 G(n, p) 的线性索引编码的典型最小长度是多少？
• RQ2 对于 G(n, p)，局部可解码索引编码能否实现比一般线性编码更短的长度？查询复杂度如何影响这一结果？
• RQ3 是否仅需在低密度索引编码上建立 ω(√n) 的下界，即可改进 G(n, p) 一般线性索引编码的最小秩下界？
• RQ4 对于 q = 2 和 q = 3 的低密度索引编码，G(n, p) 的长度的最紧可能下界是什么？
• RQ5 在低密度约束下，G(n, p) 的最小秩是否可被下界为 n^{1−ε} 或 n^{2/3−ε}（ε > 0 极小）？

主要发现

• 对于任意常数 p 和固定有限域 F，G(n, p) 的最小秩几乎必然为 Ω(√n)，确立了线性索引编码长度的基准下界。
• 对于查询数 q = eΩ(n^{1/3}) 的局部可解码索引编码，最小长度几乎必然为 eΩ(n/q)，当 q = o(√n) 时意味着 ω(√n) 的下界。
• 对于 q = 2 的低密度索引编码，最小长度几乎必然至少为 n^{1−ε}（任意 ε > 0），且当 p 足够小时成立。
• 对于 q = 3 的低密度索引编码，最小长度几乎必然至少为 n^{2/3−ε}（任意 ε > 0），且当 p 足够小时成立。
• 若对满足 q = ω(1) 的低密度索引编码存在 ω(√n) 的下界，则该下界也适用于一般线性索引编码，表明该模型是未来改进的关键目标。
• 当 n 增大时，对于足够小的 p 和固定的 ε > 0，存在 (q, ℓ)-低密度索引编码的概率以指数速度趋近于零。