[论文解读] On linear operators with p-nuclear adjoints

O. I. Reinov|ArXiv.org|Jul 16, 2001

Advanced Banach Space Theory被引用 9

一句话总结

本文建立了在何种条件下，具有 $p$-核伴随算子的算子本身必为 $p$-核算子。证明了若 $X^*$ 或 $Y^{***}$ 具备逼近性质，则当 $T^* \in N^p(X^*,Y^*)$ 时，必有 $T \in N^p(X,Y)$。此外，对每个 $r \neq 2$，构造了一个具有基的 Banach 空间 $W$，使得存在一个算子 $T: W^{**} \to W$，其伴随算子为 $p$-核算子，但 $T \notin N^r(W^{**},W)$，从而证明了逼近条件的必要性。

ABSTRACT

If $p\in [1,+\infty]$ and $T$ is a linear operator with $p$-nuclear adjoint from a Banach space $ X$ to a Banach space $Y$ then if one of the spaces $X^*$ or $Y^{***}$ has the approximation property, then $T$ belongs to the ideal $N^p$ of operators which can be factored through diagonal oparators $l_{p'} o l_1.$ On the other hand, there is a Banach space $W$ such that $W^{**}$ has a basis and such that for each $p\in [1,+\infty], p eq 2,$ there exists an operator $T: W^{**} o W$ with $p$-nuclear adjoint that is not in the ideal $N^p,$ as an operator from $W^{**}$ to $ W.$

研究动机与目标

• 确定算子具有 $p$-核伴随算子时，其属于 $p$-核算子理想 $N^p$ 的充分条件。
• 研究逼近性质在通过对角算子因子化算子中的作用。
• 构造反例，表明在缺乏额外逼近假设时，伴随算子的 $p$-核性并不蕴含算子本身的 $p$-核性。
• 展示在 $N^p$-算子与其伴随算子之间的对偶性中，逼近性质条件的紧致性。

提出的方法

• 通过迹对偶性建立 $N^p(X,Y)$ 与空间 $\Pi_{p'}^d(Y,X^{**})$ 之间的对偶关系。
• 当 $X^*$ 或 $Y$ 具备逼近性质时，应用 canonical identification $X^* \widehat{\otimes}^p Y \cong N^p(X,Y)$。
• 通过 $z = \sum e_k' \otimes e_k$ 在 $E^* \widehat{\otimes}^r E$ 中的张量表示法，构造具有非零迹但对应算子为零的算子。
• 将张量 $z \in E^* \widehat{\otimes}^r E$ 提升至 $\alpha \in E^* \widehat{\otimes}^r W^{**}$，使得 $\varphi \circ \alpha = z$，其中 $\varphi: W^{**} \to E$ 为商映射且核为 $W$。
• 利用 $\alpha \notin N^r(E,W)$ 蕴含 $\alpha \circ \varphi \notin N^r(W^{**},W)$，而 $\alpha \circ \varphi \in N^r(W^{**},W^{**})$ 的事实，构造反例。
• 依赖于存在一个反射性可分 Banach 空间 $E$，使得当 $r \neq 2$ 时，canonical map $E^* \widehat{\otimes}^r E \to N^r(E,E)$ 不是单射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，伴随算子 $T^*$ 的 $p$-核性可推出 $T$ 为 $p$-核算子？
• RQ2 能否构造一个 Banach 空间 $W$，使得 $W^{**}$ 具有基，且存在算子 $T: W^{**} \to W$，其伴随算子为 $p$-核算子，但 $T \notin N^p(W^{**},W)$，其中 $p \neq 2$？
• RQ3 $X^*$ 或 $Y^{***}$ 的逼近性质是否为蕴含 $T^* \in N^p(X^*,Y^*) \Rightarrow T \in N^p(X,Y)$ 的必要条件？
• RQ4 在 canonical map $X^* \widehat{\otimes}^p Y \to N^p(X,Y)$ 非单射的背景下，张量范数与迹对偶性如何相互作用？
• RQ5 在 $W^{***}$ 中，补子空间在构造无法通过 $l_{p'} \to l_1$ 因子化的算子中起何作用？

主要发现

• 若 $X^*$ 或 $Y^{***}$ 具备逼近性质，则 $T^* \in N^p(X^*,Y^*)$ 蕴含 $T \in N^p(X,Y)$，从而为从伴随算子推导 $T$ 的 $p$-核性提供了充分条件。
• 对每个 $r \in [1,\infty]$，$r \neq 2$，存在一个可分 Banach 空间 $W$，使得 $W^{**}$ 具有基，且存在算子 $T: W^{**} \to W$，满足 $T^* \in N^r(W^{**},W^*)$ 但 $T \notin N^r(W^{**},W)$，从而证明了逼近假设的必要性。
• 反例依赖于一个张量 $z \in E^* \widehat{\otimes}^r E$，满足 $\operatorname{trace}(U \circ z) = 1$ 但 $\widetilde{z} = 0$，该张量存在于 $r \neq 2$ 时的反射性可分空间 $E$ 中。
• 构造中使用了商映射 $\varphi: W^{**} \to E$，其核为 $W$，以及一个提升 $\alpha \in E^* \widehat{\otimes}^r W^{**}$，使得 $\varphi \circ \alpha = z$，并确保 $\alpha \notin N^r(E,W)$。
• 算子 $T = \alpha \circ \varphi$ 满足 $T \in N^r(W^{**},W^{**})$ 但 $T \notin N^r(W^{**},W)$，从而证明了在无逼近条件时该蕴含关系的失效。
• 结果表明，定理1中的逼近性质条件是紧致的，因为当这些条件不成立时，反例确实存在。