[论文解读] On Liouville type theorems for the steady Navier-Stokes equations in $\Bbb R^3$

Dongho Chae, Joerg Wolf|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 4被引用 10

一句话总结

本文为三维稳态纳维-斯托克斯方程建立了三个新的刘维尔型定理，证明在改进的可积性条件下解的平凡性（$v=0$）。它对经典的 $L^{9/2}$ 结果进行了对数形式的推广，引入了一种基于动压头的条件，其尺度与Dirichlet积分一致，并提出了一种基于速度与涡量的双线性核的Fubini型条件，所有这些结果均在无穷远处具有衰减性和可积性假设下成立。

ABSTRACT

In this paper we prove three different Liouville type theorems for the steady Navier-Stokes equations in $\Bbb R^3$. In the first theorem we improve logarithmically the well-known $L^{\frac92} (\Bbb R^3)$ result. In the second theorem we present a sufficient condition for the trivially of the solution($v=0$) in terms of the head pressure, $Q=\frac12 |v|^2 +p$. The imposed integrability condition here has the same scaling property as the Dirichlet integral. In the last theorem we present Fubini type condition, which guarantee $v=0$.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的公开问题：在 $\mathbb{R}^3$ 中，所有满足无穷远处速度趋于零且Dirichlet积分有限的弱解是否都必须是平凡解（$v=0$）。
• 在已知的基于 $L^{9/2}$ 的刘维尔结果基础上，通过在可积性条件中引入对数校正因子加以改进。
• 提出一种基于动压头 $Q = \frac{1}{2}|v|^2 + p$ 的新条件，其可积性结构与Dirichlet积分的尺度一致。
• 建立一种涉及由涡量和速度导出的双线性核的Fubini型条件，当该核的二重积分具有对称性时，可确保解的平凡性。

提出的方法

• 通过证明 $\int_{\mathbb{R}^3} |v|^{9/2} \left\{ \log\left(2 + \frac{1}{|v|}\right) \right\}^{-1} dx < \infty$ 蕴含 $v \equiv 0$，实现对 $L^{9/2}$ 可积性条件的对数改进。
• 引入动压头 $Q = \frac{1}{2}|v|^2 + p$，并推导出关于 $|\nabla Q|^2 / |Q|$ 的加权 $L^2$-型不等式，其中包含对数权重，证明若该积分在 $\alpha \to 0^+$ 时衰减足够快，则 $v=0$。
• 定义核 $\Phi(x,y) = \frac{1}{4\pi} \frac{\omega(x) \cdot (x-y) \times (v(y) \times \omega(y))}{|x-y|^3}$，并证明在 $\omega \in L^q(\mathbb{R}^3)$ 且 $q \in [3/2, 3)$ 的条件下，该核在两个变量上均为绝对可积。
• 利用恒等式 $\int_{\mathbb{R}^3} \Phi(x,y) dy = |\omega(x)|^2 \geq 0$ 和 $\int_{\mathbb{R}^3} \Phi(x,y) dx = 0$，证明若 $\Phi$ 的二重积分具有对称性，则 $\omega \equiv 0$，从而推出 $v \equiv 0$。
• 应用Riesz势估计和Hölder不等式，控制核的增长，确保在给定的涡量 $L^q$ 假设下其可积性。
• 利用Calderón-Zygmund不等式和Sobolev嵌入，将 $v$ 与 $\omega$ 联系起来，确保在相关Lebesgue空间中 $v$ 和 $\omega$ 所需的可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在经典 $L^{9/2}$ 条件中引入被积函数内的对数校正因子，以改进稳态纳维-斯托克斯解平凡性的条件？
• RQ2 基于动压头 $Q = \frac{1}{2}|v|^2 + p$ 的条件，若加入对数权重，是否能给出一个与Dirichlet积分尺度一致的、足以推出 $v=0$ 的充分条件？
• RQ3 能否通过一种涉及涡量与速度的双线性核的Fubini型条件，确保稳态纳维-斯托克斯方程的唯一解为平凡解？
• RQ4 是否存在一种条件，即由涡量与速度导出的核的二重积分具有对称性，从而在不假设 $v \in L^2$ 的情况下也能推出 $v=0$？
• RQ5 该结果能否推广至 $\omega \in L^q(\mathbb{R}^3)$ 且 $q \in [3/2, 3)$ 的情形，即使 $v$ 不一定属于 $L^2$，仍能保证 $v=0$？

主要发现

• 定理 1.1 表明：若 $\int_{\mathbb{R}^3} |v|^{9/2} \left\{ \log\left(2 + \frac{1}{|v|}\right) \right\}^{-1} dx < \infty$，则解必为平凡解：$v \equiv 0$。
• 定理 1.2 表明：若加权积分 $\int_{\mathbb{R}^3} \frac{|\nabla Q|^2}{|Q|} \left( \log \frac{eM}{|Q|} \right)^{-\alpha-1} dx$ 在 $\alpha \to 0^+$ 时衰减快于 $1/\alpha$，则 $v \equiv 0$，其中 $Q$ 为动压头。
• 定理 1.3 证明：若 $\omega \in L^q(\mathbb{R}^3)$ 且 $q \in [3/2, 3)$，且核 $\Phi(x,y)$ 的二重积分具有对称性，则 $v \equiv 0$，即使不假设 $v \in L^2$。
• 本文表明，在给定的 $L^q$ 条件下，核 $\Phi(x,y)$ 在两个变量上均为绝对可积，从而保证了Fubini型论证的有效性。
• 条件 $\int_{\mathbb{R}^3} \int_{\mathbb{R}^3} \Phi(x,y) \, dx \, dy = \int_{\mathbb{R}^3} \int_{\mathbb{R}^3} \Phi(x,y) \, dy \, dx$ 蕴含 $\omega \equiv 0$，从而推出 $v \equiv 0$，为此提供了基于非 $L^2$ 的新平凡性判据。
• 分析表明，积分 $\int_{\mathbb{R}^3} \frac{|\nabla Q|^2}{|Q|} dx$ 的尺度与Dirichlet积分 $\int_{\mathbb{R}^3} |\nabla v|^2 dx$ 相同，使得动压头条件自然与基于能量的方法兼容。