[论文解读] On Local Super-Penalization of Interior Penalty Discontinuous Galerkin Methods

Andrea Cangiani, John Chapman+2 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 18被引用 8

一句话总结

该论文从理论上和数值上证明了当内部罚参数趋于无穷大时，间断伽辽金（dG）方法会收敛到连续伽辽金（cG）方法，即使在非线性和时间依赖的设置下也是如此。论文提出了局部超罚惩罚方法，实现了减少自由度而不损失稳定性的混合连续-间断伽辽金方法，并通过自适应网格加密和对对流-扩散及混相驱替问题的数值实验验证了其有效性。

ABSTRACT

We prove in an abstract setting that standard (continuous) Galerkin finite element approximations are the limit of interior penalty discontinuous Galerkin approximations as the penalty parameter tends to infinity. We apply this result to equations of non-negative characteristic form and the non-linear, time dependent system of incompressible miscible displacement. Moreover, we investigate varying the penalty parameter on only a subset of a triangulation and the effects of local super-penalization on the stability of the method, resulting in a partly continuous, partly discontinuous method in the limit. An iterative automatic procedure is also proposed for the determination of the continuous region of the domain without loss of stability of the method.

研究动机与目标

• 建立一个通用的理论框架，证明当罚参数趋于无穷大时，内部罚dG方法收敛到cG方法。
• 研究将超罚惩罚局部化——仅在选定的单元或面上施加高罚参数——以构建混合连续-间断伽辽金（cdG）方法的影响。
• 开发并测试一种迭代的自动程序，用于识别域中稳定的连续区域，而不降低解的精度。
• 评估cdG方法在对流主导和非线性时间依赖问题中的稳定性和准确性，特别是具有边界层或陡峭前缘的问题。
• 通过使用局部连续单元减少dG方法的自由度，同时保持dG方法的稳定性和准确性。

提出的方法

• 基于inf-sup条件和能量估计的抽象框架，证明在罚参数趋于无穷大时dG收敛到cG。
• 将该框架应用于非负特征形式的方程以及不可压缩混相驱替的非线性系统，采用混合Raviart-Thomas-dG混合格式。
• 通过仅在部分网格面上变化罚参数，引入局部超罚惩罚，构建混合cdG方法。
• 提出一种迭代算法，基于单元界面处浓度场跳跃大小，自动识别并标记用于连续近似的单元。
• 在单元界面处解跳跃的$L^2$-范数上设置容差阈值，以标记包含在连续区域中的单元。
• 通过时间演化过程中的$L^2$-范数差异和自由度计数，比较cdG近似与完全dG和cG解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当罚参数趋于无穷大时，内部罚dG方法是否收敛到标准cG方法，即使在非线性和时间依赖问题中？
• RQ2 是否可以通过仅在选定的单元面上施加高罚参数的局部超罚惩罚，构建稳定且准确的混合连续-间断伽辽金方法？
• RQ3 通过使用局部连续单元，可在多大程度上减少自由度，而不会引入数值振荡或降低精度？
• RQ4 是否可以使用一种自动的、迭代的程序识别域中稳定的连续区域，而不损害解的稳定性？
• RQ5 cdG与dG近似之间的误差如何随时间演化？自由度减少与精度之间的权衡如何？

主要发现

• 当罚参数趋于无穷大时，dG方法收敛到cG方法，这在适用于非线性和时间依赖问题的一般抽象框架中得到了理论证实。
• 局部超罚惩罚使得能够构建稳定的混合cdG方法，在保持接近dG的精度的同时减少了自由度。
• 对于不可压缩混相驱替问题，使用$10^{-5}$的容差在自动标记过程中，将自由度减少到dG方法的74.6%，与dG解相比，$L^2(L^2)$范数误差仅为$1.0455 \times 10^{-4}$。
• 在$L^2(L^2)$范数中，cdG与dG近似之间的差异从$\mathtt{tol} = 10^{-3}$时的$1.2073 \times 10^{-2}$降低到$\mathtt{tol} = 10^{-5}$时的$1.0455 \times 10^{-4}$，表明更严格的标记可提高精度。
• 数值结果表明，在$\mathtt{tol} = 10^{-4}$和$10^{-3}$时，dG与cdG近似之间无肉眼可见差异，而完全cG解在边界层中表现出显著振荡。
• 用于识别连续区域的迭代程序成功维持了稳定性和精度，即使在多次重新初始化连续网格后，误差仍保持较低水平。