[论文解读] On locally extremal functions on connected spaces

Тарас Банах, Myroslava Vovk+1 more|ArXiv.org|Nov 11, 2008

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文在连通完备度量空间上构造了一个连续的非恒定函数，其中每个点都是局部极小值或极大值——解决了关于局部极值函数长期存在的一个问题。证明了当弱分离数 $ R(X) < \mathfrak{c} $ 时，此类函数必为常数，但当 $ R(X) = \mathfrak{c} $ 时提供了反例，证明了该条件的紧致性。

ABSTRACT

We construct an example of a real-valued continuous non-constant function $f$ defined on a connected complete metric space $X$ such that every point of $X$ is a point of local minimum or local maximum for $f$. The space $X$ is connected but fails to be separably connected.

研究动机与目标

• 为解决 M. Wójcik 关于连通度量空间上连续局部极值函数是否必为常数的问题。
• 研究弱分离数 $ R(X) $ 在限制局部极值函数像集大小中的作用。
• 构造一个连通完备度量空间的具体例子，该空间支持一个非恒定的连续局部极值函数。
• 研究度量空间中连通性、可分连通性与完备性之间的关系。
• 确立 $ R(X) \geq \mathfrak{c} $ 对于连通空间上非恒定局部极值函数的必要性。

提出的方法

• 将局部极值函数定义为每个点都是局部极小值或极大值的函数。
• 将空间 $ X $ 构造为以 $ \alpha \in [0,1] $ 索引的全 $ l_1 $-图 $ T_\alpha $ 的并集，通过平面连接各城镇。
• 在 $ X $ 上赋予一种度量 $ d $，结合镇内出租车通行与镇间飞机通行，确保完备性。
• 通过定义 $ f^{-1}(\alpha) = T_\alpha $ 得到函数 $ f: X \to \mathbb{R} $，使得 $ f $ 为非恒定且连续。
• 通过分析非机场点和机场周围的邻域，证明 $ X $ 中每一点都是局部极值点。
• 利用 $ f $ 的开像与纤维 $ T\alpha $ 的连通性，证明 $ X $ 的连通性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在连通度量空间上，每个连续局部极值函数是否必为常数？
• RQ2 支持非恒定局部极值函数的连通度量空间的弱分离数 $ R(X) $ 的最小值是多少？
• RQ3 连通完备度量空间能否支持一个非恒定连续函数，使得每个点都是局部极值？
• RQ4 是否存在一个连通完备度量空间，但不是可分连通的？
• RQ5 $ R(X) $、$ \mathrm{nw}(X) $ 与局部极值函数像集的基数之间有何关系？

主要发现

• 在连通完备度量空间 $ X $ 上存在一个连续的非恒定函数 $ f: X \to \mathbb{R} $，使得每个点都是局部极小值或极大值。
• 此类空间的弱分离数 $ R(X) $ 必须满足 $ R(X) \geq \mathfrak{c} $，即连续统的基数。
• 对于任意局部极值函数 $ f: X \to \mathbb{R} $，其像集大小满足 $ |f(X)| \leq R(X) $，在无限情况下取等。
• 若 $ R(X) < \mathfrak{c} $，则 $ X $ 上所有连续局部极值函数必为常数。
• 所构造的空间 $ X $ 是连通但不可分连通的，为可分连通性提供了一个完备度量空间的反例。
• 该空间 $ X $ 是一个完备、连通但不可分连通的度量空间，解决了文献中一个开放问题。