[论文解读] On Lock-down Control of a Pandemic Model

Paramahansa Pramanik|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2022

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 5

一句话总结

本文提出了一种费曼路径积分控制框架，用于在具有疫苗接种贝叶斯意见动态的随机多风险SIR模型下，通过最小化政策制定者的社会成本来优化疫情封锁强度。该框架通过类比哈密顿-雅可比-贝尔曼方程的Wick旋转薛定谔方程推导出最优封锁政策，从而能够通过蒙特卡洛方法实现数值求解，而无需依赖基于网格的偏微分方程求解器。

ABSTRACT

In this paper a Feynman-type path integral control approach is used for a recursive formulation of a health objective function subject to a fatigue dynamics, a forward-looking stochastic multi-risk susceptible-infective-recovered (SIR) model with risk-group's Bayesian opinion dynamics towards vaccination against COVID-19. My main interest lies in solving a minimization of a policy-maker's social cost which depends on some deterministic weight. I obtain an optimal lock-down intensity from a Wick-rotated Schrodinger-type equation which is analogous to a Hamiltonian-Jacobi-Bellman (HJB) equation. My formulation is based on path integral control and dynamic programming tools facilitates the analysis and permits the application of algorithm to obtain numerical solution for pandemic control model. Feynman path integral is a quantization method which uses the quantum Lagrangian function, while Schrodinger's quantization uses the Hamiltonian function. These two methods are believed to be equivalent but, this equivalence has not fully proved mathematically. As the complexity and memory requirements of grid-based partial differential equation (PDE) solvers increase exponentially as the dimension of the system increases, this method becomes impractical in the case with high dimensions. As an alternative path integral control solves a class a stochastic control problems with a Monte Carlo method for a HJB equation and this approach avoids the need of a global grid of the domain of the HJB equation.

研究动机与目标

• 开发一种在高维随机动力学下具有计算效率的疫情缓解控制框架。
• 最小化政策制定者的社会成本函数，以平衡健康结果与经济疲劳。
• 通过贝叶斯网络将风险群体特定的疫苗接种意见动态整合到随机SIR模型中。
• 在不依赖基于网格的偏微分方程求解器（其维度扩展性差）的前提下，实现控制问题的数值求解。
• 为随机流行病模型中的最优控制建立等价于哈密顿-雅可比-贝尔曼方程的路径积分形式。

提出的方法

• 采用费曼型路径积分方法，利用量子拉格朗日量表述控制问题，避免依赖哈密顿形式体系。
• 应用动态规划与路径积分控制工具，递归定义包含疲劳动力学的健康目标函数。
• 使用前向随机多风险SIR模型对疫情进行建模，包含饱和传播率与环境噪声。
• 通过风险群体的贝叶斯意见动态捕捉基于社会信号的疫苗接种态度演变。
• 推导出类薛定谔方程的Wick旋转形式，作为HJB方程的类比，从而实现基于蒙特卡洛方法的数值求解。
• 应用Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz定理证明封锁强度映射中不动点的存在性，确保解的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将路径积分控制框架适配于具有疲劳效应的随机多风险SIR模型，以优化封锁强度？
• RQ2 在此疫情控制背景下，费曼路径积分与哈密顿-雅可比-贝尔曼方程之间存在何种数学等价性？
• RQ3 风险群体中的贝叶斯意见动态如何影响最优封锁政策与社会成本最小化？
• RQ4 基于路径积分的蒙特卡洛方法是否能在高维疫情控制问题中优于传统基于网格的PDE求解器？
• RQ5 封锁强度映射在何种条件下存在不动点，从而确保最优控制策略的收敛性？

主要发现

• 最优封锁强度由Wick旋转的类薛定谔方程导出，该方程作为HJB方程的随机控制类比。
• 路径积分控制方法避免了PDE求解器的指数级网格复杂度，从而在高维系统中实现可扩展求解。
• 封锁强度映射存在唯一不动点，通过Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz定理证明，确保政策稳定性。
• 该形式允许从任意时间点向前递归求解目标函数，满足延续问题的结构要求。
• 模型通过贝叶斯网络整合了风险群体特定的疫苗接种意见，反映了现实世界的行为动态。
• 该方法通过蒙特卡洛采样实现数值求解，使其在复杂高维疫情控制问题中具有实际可行性。