[论文解读] On Loop Formulas with Variables

Joohyung Lee, Yunsong Meng|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2023

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 16被引用 22

一句话总结

本文将循环公式推广到在稳定模型语义中处理变量的情况，扩展到含析取的程序和任意一阶句，并展示带量词的扩展程序如何能够使用一阶定理证明器进行分析。它还给出使查询回答简化为一阶蕴含的条件，并讨论 Ferraris 等人的稳定模型与一阶循环公式之间的关系。

ABSTRACT

Recently Ferraris, Lee and Lifschitz proposed a new definition of stable models that does not refer to grounding, which applies to the syntax of arbitrary first-order sentences. We show its relation to the idea of loop formulas with variables by Chen, Lin, Wang and Zhang, and generalize their loop formulas to disjunctive programs and to arbitrary first-order sentences. We also extend the syntax of logic programs to allow explicit quantifiers, and define its semantics as a subclass of the new language of stable models by Ferraris et al. Such programs inherit from the general language the ability to handle nonmonotonic reasoning under the stable model semantics even in the absence of the unique name and the domain closure assumptions, while yielding more succinct loop formulas than the general language due to the restricted syntax. We also show certain syntactic conditions under which query answering for an extended program can be reduced to entailment checking in first-order logic, providing a way to apply first-order theorem provers to reasoning about non-Herbrand stable models.

研究动机与目标

• 将一阶循环公式与避免 grounding 的新稳定模型语义相关联。
• 将一阶循环公式扩展到含析取的程序和任意句子。
• 引入带显式量词的扩展程序，并将其语义分析为 Ferraris et al. 的稳定模型语言的一个子类。
• 识别在何种句法条件下，扩展程序的查询回答可以化简为一阶蕴含？
• 展示一阶定理证明器在对非 Herbrand 稳定模型进行推理方面的适用性。

提出的方法

• 将 SM[F] 定义为二阶稳定模型算子，并解释它与 grounding-free 语义的关系。
• 将一阶循环公式推广到含析取的程序；相应地扩展 FES/FLF 构造。
• 引入 NFES 和 NES 形式化以将循环公式与扩展程序的一阶表示连接起来。
• 提出基于依赖图及无界循环的概念，以在一阶和二阶环境中处理循环。
• 在不同形式下（grounded 与 non-grounded）证明 SM[F] 与一阶循环公式集合之间的等价性。
• 给出条件（有限宇宙、规范形式、有限的完全循环集合），在这些条件下 SM[F] 可以化简为一阶蕴含。

实验结果

研究问题

• RQ1 一阶循环公式与新的非 grounding 稳定模型语义之间的关系是怎样的？
• RQ2 循环公式是否可以扩展到含析取的程序以及任意的一阶句子？
• RQ3 在何种句法条件下，扩展程序的查询回答可以化简为一阶蕴含？
• RQ4 非 Herbrand 稳定模型与带显式量词的扩展程序之间是什么关系？
• RQ5 在何时可以用一阶循环公式来刻画 SM[F]，可能需要有限的宇宙或完备的循环集合？

主要发现

• 带变量的循环公式将 grounding-free 循环公式推广为保留变量并使对未命名对象的概率推理成为可能。
• 一阶循环公式扩展到含析取的程序和任意句子，保持与稳定模型语义的联系。
• 带显式量词的扩展程序将语义定义为 Ferraris 等人稳定模型的一个子类，从而使循环公式更加简洁。
• 某些句法条件允许将查询回答化简为一阶蕴含，从而使得使用一阶定理证明器来处理非 Herbrand 稳定模型成为可能。
• 命题在 normal/form 约束和有限宇宙假设下建立了 SM[F] 与一阶循环公式集合之间的等价性，并扩展到无界循环和扩展循环。
• 这项工作将非地面（non-ground）逻辑程序与一阶推理联系起来，使得在不进行 grounding 的情况下对未命名对象进行推理成为可能。