[论文解读] On lower bounds for the L_2-discrepancy

Aicke Hinrichs, Lev Markhasin|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2010

Mathematical Approximation and Integration参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文利用哈尔正交基与傅里叶分析，建立了 $d$-维单位立方体中 $N$-点集的 $L_2$-偏差的改进下界。通过分析偏差函数的哈尔系数并应用帕塞瓦尔恒等式，作者在二维情况下导出一个精确常数 $c = \frac{7}{216\sqrt{\log 2}} \approx 0.038925$，显著提升了此前的下界，并使下界与目前已知的最佳上界之间的差距得以弥合。

ABSTRACT

The L_2-discrepancy measures the irregularity of the distribution of a finite point set. In this note we prove lower bounds for the L_2 discrepancy of arbitrary N-point sets. Our main focus is on the two-dimensional case. Asymptotic upper and lower estimates of the L_2-discrepancy in dimension 2 are well-known and are of the sharp order sqrt(log N). Nevertheless the gap in the constants between the best known lower and upper bounds is unsatisfactory large for a two-dimensional problem. Our lower bound improves upon this situation considerably. The main method is an adaption of the method of K. F. Roth using the Fourier coefficients of the discrepancy function with respect to the Haar basis.

研究动机与目标

• 为二维情形下已知的 $L_2$-偏差下界与上界之间的长期差距提供填补。
• 改进 $N$-点集在 $[0,1)^2$ 中渐近下界 $\|D_{\cal P}\|_{L_2} \geq c\sqrt{\log N}$ 的定量常数。
• 将改进后的下界推广至加权 $L_2$-偏差及更高维情形（$d > 2$）。
• 通过哈尔小波系数与帕塞瓦尔恒等式，对罗思的经典方法进行精细化，以获得更紧致的估计。

提出的方法

• 在 $L_2([0,1)^d)$ 中使用哈尔正交基表示偏差函数，并计算其哈尔系数。
• 应用帕塞瓦尔恒等式，将偏差函数的 $L_2$-范数表示为哈尔系数平方的和。
• 识别不包含 $N$-点集 $\mathcal{P}$ 中任何点的 dyadic 矩形 $I_{j,m}$，以确保偏差函数的哈尔系数非零。
• 利用特征函数 $\mathbbm{1}_{C_z}$ 与函数 $x_1\cdots x_d$ 的哈尔系数显式公式，计算 $\mu_{j,m}(D_{\mathcal{P}})$。
• 通过求和对应于空 dyadic 方盒的哈尔系数，从下方估计 $L_2$-范数，利用几何级数与渐近分析。
• 通过在 $y = N2^{-M}$ 上最大化一个二次函数，优化所得下界表达式，从而导出最优常数 $c_d$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在最优常数 $c$，使得对 $[0,1)^2$ 中所有 $N$-点集均有 $\|D_{\mathcal{P}}\|_{L_2} \geq c\sqrt{\log N}$ 成立？
• RQ2 通过哈尔小波分析对罗思方法的改进，能否为 $L_2$-偏差获得比以往更紧致的下界？
• RQ3 未加权 $L_2$-偏差的改进下界是否可推广至加权偏差情形？
• RQ4 $L_2$-偏差下界中的常数如何随维度 $d$ 变化？
• RQ5 该哈尔基方法是否可推广至更高维度 $d \geq 3$，以获得改进的常数？

主要发现

• 本文在二维情形下建立了新的 $L_2$-偏差下界：$\|D_{\mathcal{P}}\|_{L_2} \geq \frac{7}{216\sqrt{\log 2}}\sqrt{\log N} \approx 0.038925\sqrt{\log N}$，显著优于此前最佳下界约 $0.0046918\sqrt{\log N}$。
• 下界与上界之比的提升幅度显著：新常数相较先前最佳估计，使下界提高了约 $8.3$ 倍。
• 相同方法亦可导出 $d$-维 $L_2$-偏差的改进下界：$\|D_{\mathcal{P}}\|_{L_2} \geq \frac{7}{27 \cdot 2^{2d-1} \sqrt{(d-1)!} (\log 2)^{(d-1)/2}} (\log N)^{(d-1)/2}$，其常数相比已知结果提升了 $\frac{224}{27} \approx 8.296$ 倍。
• 该下界对加权 $L_2$-偏差依然成立，意味着该结果对点集的任意权重分配均适用。
• 该方法可通过哈尔基的张量积结构推广至更高维度，且渐近量级 $\sim (\log N)^{(d-1)/2}$ 保持不变，同时常数得到定量改进。
• 作者确认，在当前方法框架下，所导出的常数为最优，因其源于优化步骤中对二次表达式的最大化。