[论文解读] On lower semicontinuous multifunctions in quasi-uniform and vector spaces

Andrzej Spakowski|ArXiv.org|Apr 10, 2002

Advanced Banach Space Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文引入了准一致空间和拓扑向量空间中多值函数的统一下半连续性概念，称为 $β$-下确界连续性（$β$-lsc），该概念推广了 Vietoris-lsc、Hausdorff-lsc 和有界-Hausdorff-lsc。研究证明：当且仅当值空间为局部凸时，Hausdorff-lsc 多值函数的凸包仍为 Hausdorff-lsc；并表明在特定条件下（特别是覆盖 $β$ 的平移不变性与局部凸性）向量和与凸包运算可保持 $β$-lsc 性质。

ABSTRACT

Given a cover $\mathcal{B}$ of a quasi-uniform space $Y$ we introduce a concept of lower semicontinuity for multifunctions $F:X o 2^Y$, called $\mathcal{B}$-lsc. In this way, we get a common description of Vietoris-lsc, Hausdorff-lsc, and bounded-Hausdorff-lsc as well. Further, we examine set-theoretical and vector operations on such multifunctions. We also point out that the convex hull of Hausdorff-lsc multifunctions need not to be Hausdorff-lsc except the case where the range space is locally convex.

研究动机与目标

• 统一拓扑空间与向量空间中多值函数的下半连续性概念。
• 通过值空间的覆盖结构，将 Vietoris-lsc、Hausdorff-lsc 与有界-Hausdorff-lsc 统一于同一框架下。
• 研究集合运算（如向量和与凸包）对下半连续性的保持性质。
• 确定 Hausdorff-lsc 多值函数的凸包仍为 Hausdorff-lsc 的必要与充分条件。
• 阐明局部凸性在凸包运算下保持半连续性的关键作用。

提出的方法

• 通过值空间 $Y$ 的覆盖 $β$ 与 $Y$ 上的准一致结构 $υ$ 定义 $β$-lsc 多值函数，推广现有下半连续性概念。
• 将 $β$-lsc 条件表述为：对任意 $W \in \mathcal{U}$ 与 $B \in \mathcal{B}$，存在 $x_0$ 的邻域 $U(x_0)$，使得对所有 $x \in U(x_0)$，有 $F(x_0) \cap B \subset W^{-1}(F(x))$。
• 利用准一致结构定义 $W^{-1}(F(x)) = \{ y \in Y : \exists z \in F(x), (y,z) \in W \}$，以捕捉基于邻域的可达性。
• 将该概念应用于向量运算：向量和 $F+G$ 与凸包 $\text{conv}(F)$，分析其对 $β$-lsc 的保持性。
• 证明：若 $\mathcal{B}$ 平移不变且 $F$ 为 $\mathcal{B}$-lsc，则对连续函数 $g$，有 $F+g$ 为 $\mathcal{B}$-lsc，利用邻域扰动与集合包含关系。
• 在局部凸空间中，通过凸组合与邻域凸性论证，建立 $\mathcal{B}$-lsc 蕴含 $\text{conv}(F)$ 为 $\mathcal{B}$-lsc。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否建立一个统一框架，统一多值函数的 Vietoris-lsc、Hausdorff-lsc 与有界-Hausdorff-lsc 概念？
• RQ2 在何种条件下，两个 $\mathcal{B}$-lsc 多值函数的向量和本身仍为 $\mathcal{B}$-lsc？
• RQ3 一个 $\mathcal{B}$-lsc 多值函数的凸包是否总是 $\mathcal{B}$-lsc？其值空间 $Y$ 需要何种结构性假设？
• RQ4 在非局部凸空间中，凸包运算是否保持 Hausdorff-lsc 性质？
• RQ5 平移不变性在向量和运算下保持 $\mathcal{B}$-lsc 性质中起何作用？

主要发现

• 通过值空间的覆盖 $\mathcal{B}$ 与 $Y$ 上的准一致结构，$\mathcal{B}$-lsc 概念统一了 Vietoris-lsc、Hausdorff-lsc 与有界-Hausdorff-lsc。
• 若 $\mathcal{B}$ 平移不变且其中一个函数连续，则两个 $\mathcal{B}$-lsc 多值函数的向量和仍为 $\mathcal{B}$-lsc。
• 当值空间 $Y$ 局部凸时，$\mathcal{B}$-lsc 多值函数的凸包仍为 $\mathcal{B}$-lsc。
• 在非局部凸的可度量空间中，Hausdorff-lsc 多值函数的凸包未必保持 Hausdorff-lsc，反例基于 $l^p$ 空间（$0 < p < 1$）。
• 两个 V-lsc 多值函数的向量和仍为 V-lsc，因为 V-lsc 对应于 $\mathcal{B}$-lsc 且 $\mathcal{B}$ 为单点集族。
• 本文提供反例表明，即使 $\mathcal{B}$ 平移不变，两个 $\mathcal{B}$-lsc 多值函数的向量和也可能不保持 $\mathcal{B}$-lsc，说明平移不变性本身不足以保证，还需额外结构。