[论文解读] On Lusternik-Schnirelmann category of SO(10)

Norio Iwase, Kai Kikuchi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文通过利用 $\mathrm{SO}(9)$ 的锥分解以及对特征映射和伯斯坦-希尔顿霍普夫不变量的条件，建立了一个新的同伦准则，用于界定主丛 $\mathrm{SO}(10) \to S^9$（结构群为 $\mathrm{SO}(9)$）的路易斯蒂尼克-施尼雷尔曼（L-S）范畴。关键结果为 $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10)) = 21$，与模 2 上胞腔积长度一致，支持了对所有 $\mathrm{SO}(n)$ 都存在此等式的猜想。

ABSTRACT

Let $G$ be a compact connected Lie group and $p : E o ΣA$ be a principal G-bundle with a characteristic map $α: A o G$, where $A=ΣA_{0}$ for some $A_{0}$. Let $\{K_{i}{ o} F_{i-1}{\hookrightarrow} F_{i} \,|\, 1{\le} i {\le} n,\, F_{0}{=} \{\ast\} \; F_{1}{=} Σ{K_{1}} \; ext{and}\; F_{n}{\simeq} G \}$ be a cone-decomposition of $G$ of length $m$ and $F'_{1}=Σ{K'_{1}} \subset F_{1}$ with $K'_{1} \subset K_{1}$ which satisfy $F_{i}F'_{1} \subset F_{i+1}$ up to homotopy for any $i$. Our main result is as follows: we have $\operatorname{cat}(X) \le m{+}1$, if firstly the characteristic map $α$ is compressible into $F'_{1}$, secondly the Berstein-Hilton Hopf invariant $H_{1}(α)$ vanishes in $[A, ΩF'_1{\ast}ΩF'_1]$ and thirdly $K_{m}$ is a sphere. We apply this to the principal bundle $\mathrm{SO}(9)\hookrightarrow\mathrm{SO}(10) o S^{9}$ to determine L-S category of $\mathrm{SO}(10)$.

研究动机与目标

• 基于锥分解与特征映射，发展一种用于界定主丛 $E \to \Sigma A$ 的 L-S 范畴的同伦准则。
• 解决计算 $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10))$ 的开放问题，这是几何拓扑学中的一个重要李群。
• 证明 $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10)) = 21$，与模 2 上胞腔积长度一致，暗示 $\mathrm{SO}(n)$ 的普遍规律。

提出的方法

• 构造 $\mathrm{SO}(9)$ 的长度为 20 的锥分解，其中 $F_0 = \{\ast\}$，$F_1 \simeq \Sigma \mathbb{C}P^3$，且 $F_{20} \simeq \mathrm{SO}(9)$，其中 $F_i$ 通过胞腔附着构建。
• 定义 $F'_1 = \Sigma \mathbb{C}P^3 \subset F_1$，并验证对所有 $1 \leq i < 20$，乘法 $\mu|_{F_i \times F'_1}$ 在同伦意义下可压缩至 $F_{i+1}$，以确保与群结构的相容性。
• 利用 $\alpha$ 同伦于 $\mathbb{C}P^3$ 上标准 $S^1$-丛的悬垂这一事实，证明特征映射 $\alpha: S^8 \to \mathrm{SO}(9)$ 可压缩至 $F'_1 = \Sigma \mathbb{C}P^3$。
• 证明伯斯坦-希尔顿霍普夫不变量 $H_1(\alpha)$ 在 $[S^8, \Omega F'_1 * \Omega F'_1]$ 中为零，因为 $\alpha$ 是悬垂映射。
• 应用定理 1.4，该定理在以下三个条件下给出 $\operatorname{cat}(E) \leq m+1$：$\alpha$ 可压缩至 $F'_1$，$H_1(\alpha)$ 为零，且 $K_m$ 为球面，从而得出 $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10)) \leq 21$。
• 将此上界与已知的下界 $\operatorname{cup}(\mathrm{SO}(10); \mathbb{F}_2) = 21$ 结合，得出等式成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 SO(10) 的路易斯蒂尼克-施尼雷尔曼范畴是多少？它是否等于其模 2 上胞腔积长度？
• RQ2 锥分解方法能否通过主丛 $\mathrm{SO}(9) \to \mathrm{SO}(10) \to S^9$ 的结构用于计算 $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10))$？
• RQ3 在何种同伦条件下，伯斯坦-希尔顿霍普夫不变量与锥分解结构可确保主丛 $E \to \Sigma A$ 满足 $\operatorname{cat}(E) \leq m+1$？

主要发现

• 通过锥分解的上界与上胞腔积的下界相结合，$\mathrm{SO}(10)$ 的路易斯蒂尼克-施尼雷尔曼范畴恰好为 21。
• 上界 $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10)) \leq 21$ 来自定理 1.4，该定理在以下条件下适用：特征映射 $\alpha$ 可压缩至 $F'_1 = \Sigma \mathbb{C}P^3$，霍普夫不变量 $H_1(\alpha)$ 为零，且最高胞腔 $K_{20}$ 为球面。
• 特征映射 $\alpha: S^8 \to \mathrm{SO}(9)$ 同伦于 $\mathbb{C}P^3$ 上标准 $S^1$-丛的悬垂，从而确保其可压缩至 $F'_1 = \Sigma \mathbb{C}P^3 \subset F_1$。
• 由于 $\alpha$ 是悬垂映射，伯斯坦-希尔顿霍普夫不变量 $H_1(\alpha)$ 为零，这在相关同伦群中意味着平凡性。
• $\mathrm{SO}(9)$ 的锥分解长度为 20，其中 $F_{20} \simeq \mathrm{SO}(9)$，且最高胞腔 $K_{20} = S^{35}$，满足定理 1.4 中的球面条件。
• 结果 $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(10)) = 21 = \operatorname{cup}(\mathrm{SO}(10); \mathbb{F}_2)$ 支持了如下猜想：对所有 $n$，有 $\operatorname{cat}(\mathrm{SO}(n)) = \operatorname{cup}(\mathrm{SO}(n); \mathbb{F}_2)$。