[论文解读] On M-functions associated with modular forms

Philippe Lebacque, Alexey Zykin|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文研究了在广义黎曼猜想（GRH）假设下，对权为 $k$、水平为 $N$ 的本性尖点形式 $f$ 与素数导子的狄利克雷特征 $χ$ 的扭曲 $\mathfrak{L}(f\otimes\chi,s)$ 的值分布，其中 $\mathfrak{L}$ 为 $\log L(f\otimes\chi,s)$ 或 $(L'/L)(f\otimes\chi,s)$。通过极限函数与调和平均，本文在 GRH 下建立了这些值的等分布性，证明了极限密度函数 $M_\sigma(w)$ 与 $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$ 的存在性，并揭示其解析性质与欧拉乘积结构。

ABSTRACT

Let $f$ be a primitive cusp form of weight $k$ and level $N,$ let $χ$ be a Dirichlet character of conductor coprime with $N,$ and let $\mathfrak{L}(f\otimes χ, s)$ denote either $\log L(f\otimes χ, s)$ or $(L'/L)(f\otimes χ, s).$ In this article we study the distribution of the values of $\mathfrak{L}$ when either $χ$ or $f$ vary. First, for a quasi-character $ψ\colon \mathbb{C} o \mathbb{C}^ imes$ we find the limit for the average $\mathrm{Avg}\_χψ(L(f\otimesχ, s)),$ when $f$ is fixed and $χ$ varies through the set of characters with prime conductor that tends to infinity. Second, we prove an equidistribution result for the values of $\mathfrak{L}(f\otimes χ,s)$ by establishing analytic properties of the above limit function. Third, we study the limit of the harmonic average $\mathrm{Avg}^h\_f ψ(L(f, s)),$ when $f$ runs through the set of primitive cusp forms of given weight $k$ and level $N o \infty.$ Most of the results are obtained conditionally on the Generalized Riemann Hypothesis for $L(f\otimesχ, s).$

研究动机与目标

• 分析当狄利克雷特征 $\chi$ 的导子趋于无穷时，$\mathfrak{L}(f\otimes\chi,s) = \log L(f\otimes\chi,s)$ 或 $(L'/L)(f\otimes\chi,s)$ 的分布。
• 通过分析泛函 $\psi$ 的平均值 $\mathrm{Avg}_\chi \psi(L(f\otimes\chi,s))$ 的极限，建立这些 $\mathfrak{L}$-值的等分布结果。
• 将分析扩展至固定权 $k$ 且水平 $N \to \infty$ 的本性尖点形式的调和平均，研究由此产生的极限密度函数。
• 探讨极限函数 $M_\sigma(w)$ 与 $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$ 的解析与算术性质，包括其欧拉乘积结构与增长行为。

提出的方法

• 作者利用与模形式相关的 $L$-函数及其狄利克雷特征扭曲的理论，重点研究这些 $L$-函数的对数导数与对数。
• 在 GRH 假设下，定义极限函数 $\mathcal{M}_\sigma(w)$ 为泛函 $\psi$ 的平均值 $\mathrm{Avg}_\chi \psi(L(f\otimes\chi,s))$ 的极限，其中 $\psi$ 为拟特征。
• 通过证明极限测度对应于密度函数 $M_\sigma(w)$，且 $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$ 为其傅里叶变换，从而建立 $\mathfrak{L}(f\otimes\chi,s)$ 的等分布性。
• 该方法依赖于极限函数 $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$ 的解析延拓与欧拉乘积展开，其来源于局部 $L$-因子与赫克特征形式的结构。
• 对于 $f$ 的调和平均，作者使用彼得松迹公式，并将权重与 $L(\mathrm{Sym}^2 f, 1)$ 关联，旨在通过迹公式技术消除调和权重。
• 该分析依赖于 $L(f\otimes\chi,s)$ 的广义黎曼猜想，该假设确保了 $L$-函数及其对数导数的收敛性与解析行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\chi$ 的导子趋于无穷时，固定 $f$ 下，平均值 $\mathrm{Avg}_\chi \psi(L(f\otimes\chi,s))$ 的极限是否可计算？
• RQ2 在复平面上，$\mathfrak{L}(f\otimes\chi,s)$ 的分布是否等分布？其关联的极限密度函数 $M_\sigma(w)$ 是什么？
• RQ3 能否对水平 $N \to \infty$ 的本性尖点形式的调和平均 $\mathrm{Avg}^h_f \psi(L(f,s))$ 进行分析？其是否产生极限密度函数？
• RQ4 函数 $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$ 的解析性质是什么？包括其欧拉乘积、解析延拓与增长行为？
• RQ5 结果能否在无条件或更广的自守形式族中推广？函数域类比为何？

主要发现

• 在 GRH 下，平均值 $\mathrm{Avg}_\chi \psi(L(f\otimes\chi,s))$ 的极限存在，并定义了一个在 $z_1, z_2$ 上整的函数 $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$，且其具有欧拉乘积展开。
• 在极限密度 $M_\sigma(w)$ 下，$\mathfrak{L}(f\otimes\chi,s)$ 的分布实现等分布，满足 $\int_{\mathbb{C}} M_\sigma(w) \Phi(w) |dw| = \lim_{\chi} \mathrm{Avg}_\chi \Phi(\mathfrak{L}(f\otimes\chi,s))$，其中 $\Phi$ 为至多指数增长的测试函数。
• $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$ 被证明是 $M_\sigma(w)$ 的傅里叶逆变换，其普朗切尔体积 $\int_{\mathbb{C}} |\tilde{M}_\sigma(z,\bar{z})|^2 |dz|$ 是一个定义良好且有趣的对象。
• 对于水平 $N \to \infty$ 的本性尖点形式的调和平均，本文证明了极限密度函数 $\tilde{M}_\sigma(z_1,z_2)$ 的存在性，尽管其在 $s$ 上不全纯，因其依赖于 $s$ 与 $\bar{s}$。
• 结果依赖于广义黎曼猜想，作者指出了在调和平均情形下移除该假设的关键挑战。
• 本文概述了消除调和权重并推广至其他自守形式的计划，指出迹公式与局部理论可能是关键工具。