[论文解读] On magic angles and band flattening in twisted bilayer graphene

Hridis K. Pal|arXiv (Cornell University)|May 22, 2018

Graphene research and applications被引用 9

一句话总结

本文提出了对扭曲双层石墨烯中能带平坦化和魔角现象的理论解释，表明平坦能带源于层间耦合导致的高阶动量项在能量色散中的部分抵消。关键结果是一个几何模型，通过动量空间中的共振条件预测魔角，其中公式（7）对数值计算得到的高阶角度给出了出人意料的精确近似。

ABSTRACT

When two graphene layers are rotated from AA or AB configuration by a small angle, the band structure changes dramatically. Numerical calculations have shown that, at certain discrete angles called magic angles, the low energy bands become flat leading to localization of electrons. The origin of this strange behavior, however, is not well understood. Here, I propose a theory that offers an understanding of the phenomenon, focusing on the first magic angle. It is shown that coupling between the layers, in addition to renormalizing the Dirac velocity, introduces higher order momentum terms in the energy dispersion that are not all of the same sign. Partial cancellation among these terms leads to the flatness of the low energy bands. Also, while there is modulation of electron density in real space, there is no localization---the modulation arises due to the superposition of plane wave states with different momenta in the two layers. In addition, it is conjectured that there is an underlying geometric reason for the appearance of more than one magic angle which can be exploited to predict higher magic angles approximately without computing the band structure.

研究动机与目标

• 理解扭曲双层石墨烯在魔角下能带平坦化和电子局域化的非微扰起源。
• 解释为何在标准方法失效的非微扰 regime 下，平坦能带仅在离散角度出现。
• 解释电子密度的空间调制现象，不依赖于实空间局域化，而是归因于具有不同动量的平面波的叠加。
• 提供一种无需完整能带结构计算即可预测高阶魔角的预测性框架。

提出的方法

• 构建一个低能哈密顿量，耦合两个旋转石墨烯层在狄拉克点附近的态，引入依赖于相对动量的相位因子的层间跃迁项。
• 在狄拉克点附近对动量进行微扰展开，推导能量色散，揭示出具有相反符号的高阶动量项。
• 识别出能带平坦化并非仅源于狄拉克速度为零，而是这些高阶项的近似抵消所致。
• 引入几何共振条件：当层间耦合 γ 与动量偏移 ΔK 处的能级分裂 vΔK 匹配时，出现平坦能带。
• 将共振图像推广至动量空间中的多重跃迁，考虑导致 1/K 值有效平均的相互竞争路径。
• 推导出公式（7）：θ^m_i = (γ/v)⟨1/K_i⟩，其中 ⟨1/K_i⟩ 是扩展布里渊区中第 i 个最近狄拉克点的平均倒数动量距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在非微扰问题中，平坦能带仅在特定离散角度出现？
• RQ2 电子密度在莫尔周期尺度上的调制的物理起源是什么？为何其不与实空间局域化相关？
• RQ3 是否存在几何或拓扑原因解释多个魔角的存在？
• RQ4 能否在不求解完整能带结构的前提下预测高阶魔角？

主要发现

• 魔角下的能带平坦化源于能量色散中高阶动量项的部分抵消，而不仅仅是狄拉克速度为零的结果。
• 电子密度在莫尔超原胞尺度上发生调制，是由于两层中具有不同动量的平面波态相互干涉所致，而非实空间局域化。
• 第一个魔角出现在 γ = vΔK 时，对应于层间耦合与动量偏移 ΔK 之间的共振。
• 高阶魔角源于在扩展布里渊区中越来越远的狄拉克点处满足共振条件，且存在多重跃迁路径相互竞争。
• 公式（7）为第 i 个魔角提供了预测性近似：θ^m_i = (γ/v)⟨1/K_i⟩，其预测值与数值结果相比，在前五个角度内误差约 30% 以内。
• 预测值与数值结果之间的偏差随魔角阶数升高而减小，表明该模型在小扭转角极限下更加精确。