[论文解读] On Making Directed Graphs Eulerian

Manuel Sorge|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文研究有向图中的欧拉扩展（EE）问题，目标是通过添加权值总和最小的弧，使有向多重图变为欧拉图。论文提出了一种参数化算法，其时间复杂度为 $\mathcal{O}(4^{c\log(bc^2)}n^2(b^2 + n\log n) + n^2m)$，其中 $c$ 为连通分量数量，$b$ 为正的入度-出度不平衡之和。论文还提出了一种基于匹配的新重构方法，可能实现以 $c$ 为参数的固定参数可追踪性。主要贡献在于相较于以往以 $k$（添加弧的数量）为参数的工作，显著提升了参数化效率。

ABSTRACT

A directed graph is called Eulerian, if it contains a tour that traverses every arc in the graph exactly once. We study the problem of Eulerian extension (EE) where a directed multigraph G and a weight function is given and it is asked whether G can be made Eulerian by adding arcs whose total weight does not exceed a given threshold. This problem is motivated through applications in vehicle routing and flowshop scheduling. However, EE is NP-hard and thus we use the parameterized complexity framework to analyze it. In parameterized complexity, the running time of algorithms is considered not only with respect to input length, but also with respect to other properties of the input - called "parameters". Dorn et. al. proved that EE can be solved in O(4^k n^4) time, where k denotes the parameter "number of arcs that have to be added". In this thesis, we analyze EE with respect to the (smaller) parameters "number c of connected components in the input graph" and "sum b over indeg(v) - outdeg(v) for all vertices v in the input graph where this value is positive". We prove that there is an algorithm for EE whose running time is polynomial except for the term 4^(c log(bc^2)). To obtain this result, we make several observations about the sets of arcs that have to be added to the input graph in order to make it Eulerian. We build upon these observations to restate EE in a matching context. This matching formulation of EE might be an important tool to solve the question of whether EE can be solved within running time whose superpolynomial part depends only on c. We also consider polynomial time preprocessing routines for EE and show that these routines cannot yield instances whose size depends polynomially only on either of the parameters b, c, k unless coNP is contained in NP/poly.

研究动机与目标

• 为解决有向图中的 NP-难欧拉扩展（EE）问题，该问题在车辆路径规划与调度应用中具有实际动机。
• 使用参数化复杂性分析 EE 问题，重点关注小于标准参数 $k$（添加弧的数量）的更小参数。
• 设计一种运行时间仅依赖于 $c$（连通分量数量）和 $b$（正度不平衡之和）的高效算法。
• 将 EE 重构为匹配问题，以探索以 $c$ 为参数的固定参数可追踪性。
• 研究 EE 问题多项式时间预处理的极限，表明除非多项式层次坍缩，否则无法获得大小为 $b$、$c$ 或 $k$ 的多项式问题核。

提出的方法

• 引入并分析两个新参数：$c$（连通分量数量）和 $b$（正的入度-出度不平衡之和）。
• 设计一种多变量算法，其时间复杂度为 $\mathcal{O}(4^{c\log(bc^2)}n^2(b^2 + n\log n) + n^2m)$，其中 $m$ 为弧的数量。
• 利用使图变为欧拉图所需弧集的结构特性，简化问题并将其转化为匹配问题背景。
• 将 EE 重构为连接二分图匹配（CBM）问题，建立 EE 与一种自然匹配问题之间的联系。
• 证明除非 $\text{coNP} \subseteq \text{NP}/\text{poly}$，否则多项式时间预处理无法产生大小为 $b$、$c$ 或 $k$ 的多项式问题核。
• 利用动态规划与图分解技术，将 EE 约化为具有连接约束的二分图上的受限匹配问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用 $c$（连通分量数量）和 $b$（正度不平衡之和）作为主要参数，而非 $k$（添加弧的数量），更高效地解决欧拉扩展问题？
• RQ2 是否存在仅以 $c$ 为参数的 EE 固定参数可追踪算法？该匹配重构方法是否有助于实现这一点？
• RQ3 多项式时间预处理在多大程度上能将 EE 实例压缩为 $b$、$c$ 或 $k$ 的多项式大小？
• RQ4 将 EE 重构为连接二分图匹配（CBM）在理解 EE 的结构复杂性方面有何帮助？
• RQ5 从有向情况获得的洞见能否推广到无向版本的 EE 问题？该匹配重构方法是否具有普遍适用性？

主要发现

• 提出了一种 EE 算法，其时间复杂度为 $\mathcal{O}(4^{c\log(bc^2)}n^2(b^2 + n\log n) + n^2m)$，其复杂度仅在 $c$ 和 $b$ 上为超多项式，优于先前的 $\mathcal{O}(4^k n^4)$ 算法。
• 将问题 EE 重构为连接二分图匹配（CBM）问题，提供了新的结构视角，可能实现以 $c$ 为参数的固定参数可追踪性。
• 证明除非 $\text{coNP} \subseteq \text{NP}/\text{poly}$，否则无法通过多项式时间预处理获得大小为 $b$、$c$ 或 $k$ 的多项式问题核，表明此类核极不可能存在。
• 证明参数 $b$ 和 $c$ 均不超过 $k$，表明当 $c$ 和 $b$ 较小时，新算法在参数化复杂度上更具优势。
• 该算法预计仅使用多项式空间，而先前的动态规划方法使用指数空间。
• EE 与 CBM 的等价性表明，若能以连接集合大小为参数解决 CBM，则可解决以 $c$ 为参数的 EE 的固定参数可追踪性问题。