[论文解读] On Malliavin's differentiability of BSDE with time delayed generators driven by Brownian motions and Poisson random measures

Łukasz Delong, Peter Imkeller|arXiv (Cornell University)|May 25, 2010

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

本论文建立了由布朗运动和泊松随机测度驱动的具有时滞生成元的倒向随机微分方程（BSDEs）解的存在性、唯一性以及Malliavin可微性。证明了控制过程（Z, U）对应于解Y的Malliavin导数的可预测投影，将经典的Clark-Ocone型关系推广至时滞动力系统。

ABSTRACT

We investigate solutions of backward stochastic differential equations (BSDE) with time delayed generators driven by Brownian motions and Poisson random measures, that constitute the two components of a Levy process. In this new type of equations, the generator can depend on the past values of a solution, by feeding them back into the dynamics with a time lag. For such time delayed BSDE, we prove existence and uniqueness of solutions provided we restrict on a sufficiently small time horizon or the generator possesses a sufficiently small Lipschitz constant. We study differentiability in the variational or Malliavin sense and derive equations that are satisfied by the Malliavin gradient processes. On the chosen stochastic basis this addresses smoothness both with respect to the continuous part of our Levy process in terms of the classical Malliavin derivative for Hilbert space valued random variables, as well as with respect to the pure jump component for which it takes the form of an increment quotient operator related to the Picard difference operator.

研究动机与目标

• 研究由Lévy过程（由布朗运动和泊松随机测度组成）驱动的具有时滞生成元的倒向随机微分方程（BSDEs）的解的存在性与唯一性。
• 建立解相对于Lévy过程的连续（布朗）与纯跳（泊松）分量的Malliavin可微性。
• 推导Malliavin梯度过程的结构，并验证控制分量（Z, U）等于解Y的Malliavin导数的可预测投影。
• 将非时滞BSDE中经典结果（特别是Clark-Ocone表示）推广至时滞生成元的情形。
• 为涉及时滞动力的随机控制与数学金融中的敏感性分析及数值方法提供严格的理论基础。

提出的方法

• 构建一个生成元f具有时滞的BSDE，其依赖于解在有限时间区间[−T, 0]内的过去值(Y_s, Z_s, U_s)。
• 在足够小的时间区间内或在Lipschitz常数较小时，通过不动点论证证明了解在适当L²空间中的存在性与唯一性。
• 采用经典的Lévy空间框架，将Lévy过程建模为布朗运动与泊松随机测度的组合。
• 通过经典的希尔伯特空间值Malliavin导数定义关于布朗分量的Malliavin导数，并通过Picard差分算子（增量商算子）定义关于跳分量的Malliavin导数。
• 通过对原始BSDE应用导数算子，推导出Malliavin梯度过程(D_{s,z}Y, D_{s,z}Z, D_{s,z}U)的前向-后向SDE系统。
• 建立关键结果：对几乎处处的(t,z)，有(D_{t,0}Y)^P = Z(t) 且 (D_{t,z}Y)^P = U(t,z)，确认Malliavin导数的可预测投影可恢复控制分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，由布朗运动和泊松随机测度驱动的具有时滞生成元的倒向随机微分方程存在唯一解？
• RQ2 解的Malliavin导数如何相对于Lévy过程的连续与跳分量进行刻画？
• RQ3 经典关系中控制过程（Z, U）与解Y的Malliavin迹之间的关系是否可推广至时滞生成元的情形？
• RQ4 此类BSDE的Malliavin梯度过程具有何种结构，其与生成元的时滞依赖性有何关联？
• RQ5 在时滞设定下，Y的Malliavin导数的可预测投影是否能恢复控制过程Z与U？

主要发现

• 若时间区间足够短或生成元的Lipschitz常数足够小，则时滞BSDE存在唯一解。
• 解(Y, Z, U)属于空间L^{1,2}(R) × L^{1,2}(R) × L^{1,2}(R)，确认其相对于布朗运动与跳分量均具有Malliavin可微性。
• Malliavin导数过程(D_{s,z}Y, D_{s,z}Z, D_{s,z}U)满足通过将导数算子作用于原始BSDE而导出的前向SDE系统。
• 控制分量(Z, U)等于Y的Malliavin导数的可预测投影：对几乎所有(t,z)，有(D_{t,0}Y)^P = Z(t) 且 (D_{t,z}Y)^P = U(t,z)。
• 经典Clark-Ocone型关系在时滞设定下依然成立，即控制分量与解Y的Malliavin迹之间的关系得以保持。
• 本结果扩展了先前关于带跳的非时滞BSDE的研究成果，并为涉及记忆效应的金融应用中的敏感性分析与数值方法提供了理论基础。