[论文解读] On manifolds with corners

Dominic Joyce|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 76

一句话总结

本文引入了一类新的、具有良好性质的带角流形类别，记为 Man^c，其特征是采用一种新颖的光滑映射定义，确保边界具有函子性且纤维积的存在性条件简洁明了。核心贡献是一个严格的框架，使得通过横截性条件可在 Man^c 中构造纤维积，这对辛几何中的应用至关重要，特别是将 d-orbifolds 带角作为 J-全纯曲线模空间背后的几何结构。

ABSTRACT

Manifolds without boundary, and manifolds with boundary, are universally known in Differential Geometry, but manifolds with corners (locally modelled on [0,\infty)^k x R^{n-k}) have received comparatively little attention. The basic definitions in the subject are not agreed upon, there are several inequivalent definitions in use of manifolds with corners, of boundary, and of smooth map, depending on the applications in mind. We present a theory of manifolds with corners which includes a new notion of smooth map f : X --> Y. Compared to other definitions, our theory has the advantage of giving a category Man^c of manifolds with corners which is particularly well behaved as a category: it has products and direct products, boundaries behave in a functorial way, and there are simple conditions for the existence of fibre products X x_Z Y in Man^c. Our theory is tailored to future applications in Symplectic Geometry, and is part of a project to describe the geometric structure on moduli spaces of J-holomorphic curves in a new way. But we have written it as a separate paper as we believe it is of independent interest.

研究动机与目标

• 解决带角流形理论中的基础性模糊问题，因为文献中存在多种不等价的光滑映射、边界和结构的定义。
• 构建一个在积、直积和纤维积等范畴构造下具有良好性质的带角流形类别 Man^c。
• 为未来在辛拓扑中的应用（特别是 J-全纯曲线模空间的背景下）提供坚实的几何基础。
• 建立一个框架，使得在简单的横截性条件下纤维积存在，从而能够严格处理 Kuranishi 空间和带角 d-orbifolds。
• 通过证明带角 d-orbifolds 自然地作为 J-全纯曲线模空间的正确几何结构出现，统一并推广现有辛几何方法。

提出的方法

• 提出一种新的带角流形之间光滑映射的定义，尊重边界的分层结构，确保在边界分层的所有层级上保持兼容性。
• 将 k-边界 ∂^kX 和 k-角 C_k(X) 定义为 ∂^kX 关于对称群 S_k 的商，从而对边界实现精确的分层。
• 利用切空间分解与拉回，通过同构（如纤维积构造中的 dC(π_X) ⊕ dC(π_Y)）关联光滑映射下边界与角的切空间，确保兼容性。
• 应用横截性条件以确保在 Man^c 中纤维积 X ×_Z Y 存在，其关键条件为切映射条件 (49) 成立：T_{(z,⋯)}C_l(Z) = dC(f)(T_{(x,⋯)}C_j(X)) + dC(g)(T_{(y,⋯)}C_k(Y))。
• 通过证明自然映射在切空间上诱导同构，并利用 dι 的单射性与同构式 (47)，证明 Man^c 中的纤维积是微分同胚。
• 在纤维积构造下，证明维度公式 dim C_i(W) = dim C_j(X) + dim C_k(Y) - dim C_l(Z) 成立，确保在各分层之间的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一个一致且具有良好性质的带角流形类别，使得边界与纤维积具有函子性？
• RQ2 在尊重完整边界分层并支持范畴构造的前提下，带角流形之间光滑映射的正确定义是什么？
• RQ3 在带角流形范畴中，纤维积 X ×_Z Y 在何种条件下存在，其几何特征如何刻画？
• RQ4 带角流形理论能否被用来严格定义辛几何中 J-全纯曲线模空间上的几何结构？
• RQ5 所提出的光滑映射定义如何确保所得到的范畴支持 d-orbifolds 带角的构造，以满足 d-流形理论的需求？

主要发现

• 带角流形类别 Man^c 具有明确定义的积、直积和函子性边界，适用于高级几何构造。
• 所提出的光滑映射定义确保 k-边界 ∂^kX 是一个 (n−k)-维带角流形，且 k-角 C_k(X) 作为 ∂^kX 关于 S_k 的商是良好定义的。
• 当且仅当映射 f:X→Z 和 g:Y→Z 横截时，纤维积 X ×_Z Y 在 Man^c 中存在，且在每个分层上满足条件 T_{(z,⋯)}C_l(Z) = dC(f)(T_{(x,⋯)}C_j(X)) + dC(g)(T_{(y,⋯)}C_k(Y))。
• 从带角流形范畴中的纤维积到其分层纤维积的自然映射是微分同胚，因为其在切空间上诱导同构且是双射。
• 对于纤维积 W = X ×_Z Y，维度公式 dim C_i(W) = dim C_j(X) + dim C_k(Y) - dim C_l(Z) 成立，确保在边界分层中的一致性。
• 该理论为将带角 d-orbifolds 定义为 J-全纯曲线模空间的正确几何结构提供了基础，弥合了 Kuranishi 空间与 polyfold 理论之间的鸿沟。