[论文解读] On mapping properties of the general relativistic constraints operator in weighted function spaces, with applications

Piotr T. Chruściel, Erwann Delay|ArXiv.org|Jan 21, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 34被引用 23

一句话总结

本文在加权Sobolev空间中建立了广义相对论约束算子的映射性质，推广了Corvino与Schoen的方法，证明了满射性，并实现了新的粘合、微扰与延拓定理。本文展示了存在真空初值数据集在无穷远处及黑洞视界附近精确为Kerr或Schwarzschild形式，且证明了Isenberg-Mazzeo-Pollack粘合构造中的形变可局部化，从而得到具有光滑未来 null 无穷远（I+）且多重极矩可在一定范围内自由预设的时空。

ABSTRACT

Generalising an analysis of Corvino and Schoen, we study surjectivity properties of the constraint map in general relativity in a large class of weighted Sobolev spaces. As a corollary we prove several perturbation, gluing, and extension results: we show existence of non-trivial, singularity-free, vacuum space-times which are stationary in a neighborhood of $i^0$; for small perturbations of parity-covariant initial data sufficiently close to those for Minkowski space-time this leads to space-times with a smooth global Scri; we prove existence of initial data for many black holes which are exactly Kerr -- or exactly Schwarzschild -- both near infinity and near each of the connected components of the apparent horizon; under appropriate conditions we obtain existence of vacuum extensions of vacuum initial data across compact boundaries; we show that for generic metrics the deformations in the Isenberg-Mazzeo-Pollack gluings can be localised, so that the initial data on the connected sum manifold coincide with the original ones except for a small neighborhood of the gluing region; we prove existence of asymptotically flat solutions which are static or stationary up to $r^{-m}$ terms, for any fixed $m$, and with multipole moments freely prescribable within certain ranges.

研究动机与目标

• 将Corvino与Schoen在加权Sobolev空间中对约束映射的分析推广，以建立满射性与同构定理。
• 证明在空间无穷远处及黑洞视界附近，存在精确为静态或Kerr型的真空初值。
• 证明在Isenberg-Mazzeo-Pollack粘合构造中的形变可局部化至粘合区域的小邻域内。
• 建立真空初值可跨紧致边界延拓的条件，以及可构造具有自由预设多重极矩的渐近平坦解的条件。
• 证明存在在空间无穷远处精确为Kerr型且具有光滑全局未来 null 无穷远的时空。

提出的方法

• 在假设某些加权Poincaré不等式与尺度不等式成立的前提下，发展了线性化约束算子在加权Sobolev空间中映射性质的一般理论。
• 在加权函数空间中应用隐函数定理，构造约束方程的解。
• 利用向量场的加权估计与Poincaré型不等式，控制解在边界与无穷远处的行为。
• 在加权Banach空间中应用Picard迭代法，证明约束映射的局部可逆性。
• 通过序列构造实现一致局部可逆性，确保在初值满足小量条件时收敛。
• 采用共形方法与Lichnerowicz方程，构造具有预设渐近行为的真空约束方程解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在一类广泛的加权Sobolev空间中证明广义相对论中约束映射的满射性？
• RQ2 在何种条件下可构造出在无穷远处及黑洞视界附近精确为Kerr或Schwarzschild形式的真空初值？
• RQ3 能否使粘合构造中的形变局部化，从而在粘合区域外保持原始初值不变？
• RQ4 在何种条件下可实现初值在紧致边界上的真空延拓？
• RQ5 能否在一定范围内构造出具有自由预设多重极矩的渐近平坦初值？

主要发现

• 在适当的Poincaré不等式与尺度不等式下，约束映射在加权Sobolev空间中是满射的，从而可通过隐函数定理实现解的构造。
• 证明了存在非平凡、无奇点的真空时空，其在空间无穷远处（i0）精确为静态形式，拓展了先前结果。
• 构造了在无穷远处及每个视界连通分支附近均精确为Kerr或Schwarzschild形式的初值，从而实现‘多黑洞’解。
• Isenberg-Mazzeo-Pollack粘合构造中的形变可局部化至粘合点的小邻域，而其他区域的原始数据保持不变。
• 存在渐近平坦解，其在r−m项内为静态形式（对任意固定m），且多重极矩可在一定范围内自由预设。
• 对于Minkowski型初值的小型、宇称协变形变，所得到的时空具有光滑的全局未来 null 无穷远（I+），证实了渐近简洁性。