[论文解读] On mappings in the Orlicz-Sobolev classes

Denis Kovtonyuk, Vladimir Ryazanov+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2010

Analytic and geometric function theory参考文献 116被引用 24

一句话总结

本文证明了在 Orlicz-Sobolev 类 $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 中满足函数 $\rho$ 的 Calderón 型条件的开映射几乎处处可微，并在几乎处处的超平面上关于 $(n-1)$-维 Hausdorff 测度具有 Lusin (N)-性质。该条件被证明既是必要条件也是充分条件，结果将有限 distortion 的下和环 $Q$-同胚理论推广至 Orlicz-Sobolev 空间，包括 $W^{1,p}_{\rm loc}$（当 $p>n-1$ 时）。关键贡献在于以 $\rho$ 的增长性为依据，对 (N)-性质给出了精确刻画。

ABSTRACT

First of all, we prove that open mappings in Orlicz-Sobolev classes $W^{1,ϕ}_{ m loc}$ under the Calderon type condition on $ϕ$ have the total differential a.e. that is a generalization of the well-known theorems of Gehring-Lehto-Menchoff in the plane and of Väisälä in ${\Bbb R}^n$, $n\geqslant3$. Under the same condition on $ϕ$, we show that continuous mappings $f$ in $W^{1,ϕ}_{ m loc}$, in particular, $f\in W^{1,p}_{ m loc}$ for $p>n-1$ have the $(N)$-property by Lusin on a.e. hyperplane. Our examples demonstrate that the Calderon type condition is not only sufficient but also necessary for this and, in particular, there exist homeomorphisms in $W^{1,n-1}_{ m loc}$ which have not the $(N)$-property with respect to the $(n-1)$-dimensional Hausdorff measure on a.e. hyperplane. It is proved on this base that under this condition on $ϕ$ the homeomorphisms $f$ with finite distortion in $W^{1,ϕ}_{ m loc}$ and, in particular, $f\in W^{1,p}_{ m loc}$ for $p>n-1$ are the so-called lower $Q$-homeomorphisms where $Q(x)$ is equal to its outer dilatation $K_f(x)$ as well as the so-called ring $Q_*$-homeomorphisms with $Q_*(x)=[K_{f}(x)]^{n-1}$. This makes possible to apply our theory of the local and boundary behavior of the lower and ring $Q$-homeomorphisms to homeomorphisms with finite distortion in the Orlicz-Sobolev classes.

研究动机与目标

• 在 $\rho$ 满足 Calderón 型条件的条件下，建立 Orlicz-Sobolev 类 $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 中开映射的几乎处处可微性。
• 研究连续映射在 $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 中关于几乎处处超平面上的 $(n-1)$-维 Hausdorff 测度的 Lusin (N)-性质。
• 确定 (N)-性质成立的 $\rho$ 的精确条件，证明其必要性与充分性。
• 证明在 $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 中具有有限 distortion 的同胚是下 $Q$-同胚与环 $Q_*$-同胚，其中 $Q(x)=K_f(x)$，$Q_*(x)=[K_f(x)]^{n-1}$。
• 构造反例以证明 Calderón 条件的必要性，包括在 $W^{1,n-1}_{\rm loc}$ 中缺乏 (N)-性质的同胚。

提出的方法

• 利用曲面族的模与 $\rho$ 的积分条件，证明 $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 中开映射的几乎处处可微性。
• 应用曲面族模的理论分析 Lusin (N)-性质，并将其与 $\rho$ 的增长性关联起来。
• 证明满足 Calderón 条件的 $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 中的映射是下 $Q$-同胚（$Q(x)=K_f(x)$）与环 $Q_*$-同胚（$Q_*(x)=[K_f(x)]^{n-1}$）。
• 通过 $\mathbb{R}^k$ 中曲面的斜投影构造显式反例，证明 Calderón 条件对 (N)-性质是必要的。
• 使用条件 $\int_1^\infty \left[ \frac{t}{\rho(t)} \right]^{1/(n-2)} dt = \infty$ 作为 $n \geq 3$ 维空间中 (N)-性质的精确判据。
• 借助已知的 ACL 函数与 $W^{1,p}_{\rm loc}$-$(N)$-性质结果，通过函数 $\rho$ 将其推广至 Orlicz-Sobolev 类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在函数 $\rho$ 满足何种条件时，$W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 中的开映射关于几乎处处超平面上的 $(n-1)$-维 Hausdorff 测度具有 (N)-性质？
• RQ2 Calderón 型条件 $\int_1^\infty \left[ \frac{t}{\rho(t)} \right]^{1/(n-2)} dt = \infty$ 是否对 $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 映射的 (N)-性质而言既是必要条件也是充分条件？
• RQ3 具有有限 distortion 的 $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 映射能否被分类为下或环 $Q$-同胚？其对应的 $Q$ 函数是什么？
• RQ4 是否存在在 $W^{1,n-1}_{\rm loc}$ 中的同胚，其关于几乎处处超平面上的 $(n-1)$-维 Hausdorff 测度不满足 (N)-性质？
• RQ5 下和环 $Q$-同胚理论如何推广至 Orlicz-Sobolev 类，特别是当 $p>n-1$ 时？

主要发现

• 满足 Calderón 型条件 $\int_1^\infty \left[ \frac{t}{\rho(t)} \right]^{1/(n-2)} dt = \infty$ 的 $W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 中的开映射几乎处处可微。
• 在 $\rho$ 满足 Calderón 条件的条件下，$W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 中的连续映射关于几乎处处超平面上的 $(n-1)$-维 Hausdorff 测度具有 (N)-性质。
• Calderón 条件不仅是充分条件，而且是必要条件；$W^{1,n-1}_{\rm loc}$ 中的反例表明该条件无法被弱化。
• 在 Calderón 条件下，$W^{1,\rho}_{\rm loc}$ 中具有有限 distortion 的同胚是下 $Q$-同胚（$Q(x) = K_f(x)$）与环 $Q_*$-同胚（$Q_*(x) = [K_f(x)]^{n-1}$）。
• 本文构造了 $W^{1,n-1}_{\rm loc}$ 中同胚的显式例子，其在每条超平面 $y = \text{const}$ 上关于 $(n-1)$-维 Hausdorff 测度均不满足 (N)-性质，从而证明了该条件的精确性。
• 结果推翻了预印本 [23] 中的断言，表明即使满足较弱形式的必要条件，$W^{1,n-1}_{\rm loc}$ 同胚的 (N)-性质仍可能不成立。