[论文解读] On Matched Metric and Channel Problem

Artur Popławski|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2016

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文建立了有限集上部分函数与度量相容的充分条件，证明在对匹配度量和信道的定义稍作放宽的情况下，二元对称信道（BAC）存在此类度量。关键贡献在于提供了一个构造性证明，解决了文献[1]中关于任意码字长度下BAC存在相容度量的猜想。

ABSTRACT

The sufficient condition for partial function from the cartesian square of the finite set to the reals to be compatible with some metric on this set is given. It is then shown, that when afforementioned set and function are respectively a space of binary words of length n and probalities of receiving some word after sending the other word through Binary Assymetric Channel the condition is satisfied so the required metrics exist.

研究动机与目标

• 建立有限集上部分函数与度量相容的充分条件。
• 将[1]中已有的度量-信道相容性理论框架扩展至更一般情形。
• 在放宽的度量-信道匹配定义下，解决[1]中关于任意长度二元非对称信道（BAC）存在相容度量的猜想。
• 阐明由信道转移概率导出的偏序关系与相容度量存在性之间的关系。
• 通过基于概率比较导出的关系的传递闭包，提供一个构造性证明。

提出的方法

• 基于严格概率比较定义无序元素对上的关系R：若f(x,y) > f(x,z)，则{x,y}R{x,z}，其中f表示转移概率。
• 对R取传递闭包，形成偏序，并通过反证法证明其反对称性（假设存在循环不等式）。
• 利用已知定理（Suzumura扩张定理）将偏序扩展为全序。
• 基于全序为无序对分配实数值权重g，构造对称的半度量e。
• 应用[1]中的引理7，构造度量d，使得d(x,y) < d(x,z)当且仅当e(x,y) < e(x,z)，从而确保与概率顺序相容。
• 验证在BAC转移概率的对数变换下该构造仍成立，表明由于码字符号序列的对称性，循环和为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限集X²∖Δ上的部分函数f: S → ℝ满足什么条件时，存在度量d使得f(x,y) > f(x,z) ⇒ d(x,y) < d(x,z)？
• RQ2 在对度量-信道匹配的定义稍作放宽的前提下，是否可证明[1]中的猜想——即任意长度n的BAC均存在相容度量？
• RQ3 循环概率不等式在该类度量存在性中起何种作用？
• RQ4 BAC下二元码字转移结构如何影响一致度量的定义可能性？
• RQ5 该度量构造在多大程度上依赖于码字中符号序列的对称性？

主要发现

• 推导出度量相容性的必要且充分条件：即不存在如下循环概率不等式：f(x₀,xₙ₋₁) > f(x₀,x₁)，f(x₁,x₀) > f(x₁,x₂)，…，f(xₙ₋₂,xₙ₋₃) > f(xₙ₋₂,xₙ₋₁)，且f(xₙ₋₁,xₙ₋₂) ≤ f(xₙ₋₁,x₀)。
• 度量的构造依赖于将基于概率的关系通过传递闭包转化为偏序，该偏序通过反证法证明其反对称性。
• 将偏序扩展为全序，从而可为无序对分配实数值权重，用于定义半度量。
• 最终度量d通过[1]中的已知引理7构造，确保d(x,y) < d(x,z)当且仅当概率比较f(x,y) > f(x,z)成立。
• 对于二元非对称信道，所有码字转移上的对数概率差的循环和被证明为零，与存在违反循环的假设矛盾。
• 该矛盾表明此类循环不存在，从而在放宽定义下验证了任意长度n的BAC均存在相容度量，解决了[1]中的猜想。