[论文解读] On $\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$-$(1+u)$-additive constacyclic

Ping Li, Wei Dai+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文研究了任意长度的 $ζ_2\u03b6_2[u]$-$(1+u)$-加法循环码，将其代数结构表征为多项式环 $R_{\alpha,\beta}$ 的子模。推导了最小生成集，通过生成多项式刻画了对偶码，并分析了格雷像，给出了基于生成多项式次数的码参数显式公式。

ABSTRACT

In this paper, we study $\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$-$(1+u)$-additive constacyclic code of arbitrary length. Firstly, we study the algebraic structure of this family of codes and a set of generator polynomials for this family as a $(\mathbb{Z}_{2}+u\mathbb{Z}_{2})[x]$-submodule of the ring $R_{α,β}$. Secondly, we give the minimal generating sets of this family codes, and we determine the relationship of generators between the $\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$-$(1+u)$-additive constacyclic codes and its dual and give the parameters in terms of the degrees of the generator polynomials of the code. Lastly, we also study $\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$-$(1+u)$-additive constacyclic code in terms of the Gray images.

研究动机与目标

• 将 $ζ_2\u03b6_2[u]$-$(1+u)$-加法循环码的代数结构表征为 $R[x]$-子模，作用于 $R_{\alpha,\beta}$。
• 确定这些码的最小生成集，并建立码与其对偶码之间生成元的关系。
• 推导码参数的显式公式，公式以生成多项式的次数表示。
• 分析这些码的格雷像及其与格雷映射下对偶码的关系。
• 在 $ζ_2\u03b6_2[u]$-加法码的背景下，拓展对混合字母表下循环码的理解。

提出的方法

• 将码字表示为环 $R_{\alpha,\beta} = \mathbb{Z}_2[x]/\langle x^\alpha - 1 \rangle \times R[x]/\langle x^\beta - 1 - u \rangle$ 中的多项式对 $(a(x), b(x))$，将码识别为 $R[x]$-子模。
• 定义 $(1+u)$-循环移位，并证明码在该操作下封闭，从而确立其循环性质。
• 使用格雷映射 $\phi$ 将码转换为长度为 $\alpha + 2\beta$ 的二元线性码，保持距离性质。
• 利用内积与多项式对偶性推导对偶码的生成多项式，特别涉及 $\gcd$ 和互反多项式。
• 证明 $\phi(C^\perp) = \phi(C)^\perp$，将原始码的对偶与其中二元像的对偶联系起来。
• 应用 $\mathbb{Z}_2$ 上多项式环的结果，以 $\gcd(a(x), l(x))^*$ 和互反多项式表达对偶生成元。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 $ζ_2\u03b6_2[u]$-$(1+u)$-加法循环码的代数结构表征为 $R_{\alpha,\beta}$ 的子模？
• RQ2 这些码的最小生成集是什么？它们与码参数有何关系？
• RQ3 如何用原始码生成元的表达式表示对偶码的生成元？
• RQ4 码的格雷像与对偶码之间存在何种关系？
• RQ5 生成多项式的次数如何决定码的参数？

主要发现

• 码 $C = \langle (a(x), 0), (l(x), g(x)) \rangle$ 完全由其在 $R_{\alpha,\beta}$ 中的生成多项式表征，其中 $a(x)$ 整除 $x^\alpha - 1$，且 $g(x)$ 整除 $x^\beta - 1 - u$。
• 对偶码 $C^\perp$ 的生成元为 $\bar{a}(x) = \frac{x^\alpha - 1}{\gcd(a(x), l(x))^*}$，$\bar{l}(x) = \frac{x^\alpha - 1}{a^*(x)} \lambda(x)$，以及 $\bar{g}(x) = \frac{(x^{2\beta} - 1) \gcd(a(x), l(x))^*}{a^*(x) g^*(x)}$，其中 $\lambda(x) \in \mathbb{Z}_2[x]$。
• 格雷像 $\phi(C)$ 是长度为 $\alpha + 2\beta$ 的二元线性码，且 $\phi(C^\perp) = \phi(C)^\perp$，映射保持对偶性。
• 码 $C$ 的维数为 $k_1 + 2k_2$，且 $|C| = 2^{k_1} 4^{k_2}$；对偶码的大小为 $|C^\perp| = 2^{\alpha + k_1 - 2k_0} 4^{\beta - k_1 - k_2 + k_0}$，其中 $k_0$ 是子码 $C_b$ 的维数。
• 对于形如 $C = \langle (a(x), 0), (l(x), u g(x)) \rangle$ 的码，对偶生成元的推导方式类似，其中 $\bar{g}(x)$ 涉及 $x^{2\beta} - 1$ 和互反多项式。
• 当 $g(x) = f_1^{i_1}(x) \cdots f_r^{i_r}(x)$ 时，对偶生成元 $\bar{f}_j(x)$ 由 $\frac{(x^{2\beta} - 1) \gcd(a(x), l(x))^*}{a^*(x) f_j^{*i_j}(x)}$ 给出，显示出乘法对偶结构。