[论文解读] On maxima and ladder processes for a dense class of Levy processes

Martijn Pistorius|ArXiv.org|Feb 9, 2005

Probability and Risk Models参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文提出一种显式方法，通过将一般 Lévy 过程嵌入到具有相型分布正跳的马氏切换过程（MAP）中，以近似其首通过时间与升序 ladder 过程的分布。利用通过非线性不动点迭代求解的矩阵 Wiener-Hopf 分解，该方法实现了几何快速收敛，并给出了首通过时间与 ladder 过程分布的显式公式。

ABSTRACT

Consider the problem to explicitly calculate the law of the first passage time T(a) of a general Levy process Z above a positive level a. In this paper it is shown that the law of T(a) can be approximated arbitrarily closely by the laws of T^n(a), the corresponding first passages time for X^n, where (X^n)_n is a sequence of Levy processes whose positive jumps follow a phase-type distribution. Subsequently, explicit expressions are derived for the laws of T^n(a) and the upward ladder process of X^n. The derivation is based on an embedding of X^n into a class of Markov additive processes and on the solution of the fundamental (matrix) Wiener-Hopf factorisation for this class. This Wiener-Hopf factorisation can be computed explicitly by solving iteratively a certain fixed point equation. It is shown that, typically, this iteration converges geometrically fast.

研究动机与目标

• 为一般 Lévy 过程在正水平以上首通过时间分布提供一种显式近似方法。
• 刻画具有相型分布正跳的 Lévy 过程的升序 ladder 过程的分布规律。
• 为一类马氏切换过程中的 Wiener-Hopf 分解开发一种计算高效的算法。
• 建立矩阵 Wiener-Hopf 分解迭代解的几何收敛性。
• 通过将 Lévy 过程嵌入马氏切换过程，将现有 Wiener-Hopf 分解结果扩展至具有相型跳跃分布的 Lévy 过程。

提出的方法

• 将具有相型分布正跳的 Lévy 过程嵌入到马氏切换过程（MAP）框架中。
• 利用矩阵 Wiener-Hopf 分解来刻画首通过时间与过冲量的联合分布。
• 使用吸收的有限状态连续时间马氏过程对正跳建模为相型分布。
• 通过迭代求解非线性不动点方程，推导矩阵 Wiener-Hopf 分解。
• 应用基本矩阵 Wiener-Hopf 分解，获得首通过时间与 ladder 过程分布的显式表达式。
• 基于拉普拉斯指数与指数函数，利用压缩映射原理证明迭代算法的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过一系列具有相型分布正跳的 Lévy 过程，任意精确地近似一般 Lévy 过程的首通过时间分布？
• RQ2 嵌入到具有相型跳跃的马氏切换过程中的 Lévy 过程，其矩阵 Wiener-Hopf 分解的显式形式是什么？
• RQ3 Wiener-Hopf 分解的迭代解收敛速度如何？在何种条件下实现几何收敛？
• RQ4 具有相型分布正跳的 Lévy 过程的升序 ladder 过程的显式分布是什么？
• RQ5 能否通过所提出的嵌入与分解方法，显式刻画首通过时间与过冲量的联合分布？

主要发现

• 一般 Lévy 过程的首通过时间 $ T(a) $ 的分布，可被具有相型分布正跳的 Lévy 过程序列的首通过时间 $ T^n(a) $ 任意精确地近似。
• 推导出 $ T^n(a) $ 与逼近过程 $ X^n $ 的升序 ladder 过程分布的显式表达式。
• 嵌入马氏切换过程的矩阵 Wiener-Hopf 分解通过迭代不动点算法求解。
• 当 $ \text{I\nd}X^{(-)}_{1} \rangle 0 $ 时，迭代收敛速度几何快速；当 $ \kappa'_{X^{(-)}}(0^+) < 0 $ 时，映射 $ \tilde{\psi}^{\Phi(0)} $ 为压缩映射。
• Wiener-Hopf 分解的解为非线性映射的唯一不动点，确保了解的稳定性和唯一性。
• 收敛速率由期望 $ \mathbb{E}[-I^{(-)}_{e(a)}] \Phi(a) \leq 1 $ 控制，该条件在所述假设下保证几何收敛。