[论文解读] On maximal tori in the contactomorphism groups of regular contact manifolds

Eugene Lerman|ArXiv.org|Dec 3, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文证明了，在紧致、单连通、整数辛流形 $B$ 的辛同胚群的中心 $S^1$-扩张映射下，哈密顿极大环面的原像不仅在严格接触同胚群 $\mathrm{Diff}(P,\alpha)$ 中是极大环面，而且在更大的接触同胚群 $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ 中也是极大环面，其中 $P$ 是相应的正则接触流形。关键贡献在于构建了一种从辛几何到接触几何的极大环面提升方法，从而产生了接触同胚群中具有不同维数的极大环面的新例子。

ABSTRACT

By a theorem of Banyaga the group of diffeomorphisms of a manifold $P$ preserving a regular contact form $α$ is a central $S^1$ extension of the commutator of the group of symplectomorphisms of the base $B = P/S^1$. We show that if $T$ is a Hamiltonian maximal torus in the group of symplectomorphism of $B$, then its preimage under the extension map is a maximal torus not only in the group $\Diff(P, α)$ of diffeomorphisms of $P$ preserving $α$ but also in the much bigger group of contactomorphisms $\Diff (P, ξ)$, the group of diffeomorphism of $P$ preserving the contact distribution $ξ= \ker α$. We use this (and the work of Hausmann, and Tolman on polygon spaces) to give examples of contact manifolds $(P, ξ= \ker α)$ with maximal tori of different dimensions in their group of contactomorphisms.

研究动机与目标

• 理解正则接触流形 $P$ 的接触同胚群 $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ 中极大环面的结构。
• 建立基空间 $B$ 的辛同胚群中的极大环面与 $P$ 的接触同胚群中的极大环面之间的对应关系。
• 证明 $\mathrm{Diff}(B,\omega)$ 中的极大环面可提升至 $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ 中的极大环面，即使 $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ 严格大于 $\mathrm{Diff}(P,\alpha)$。
• 利用该对应关系，构造接触同胚群中具有不同维数极大环面的接触流形。

提出的方法

• 利用 Banyaga 定理：$\mathrm{Diff}(P,\alpha)$ 是 $\mathrm{Diff}(B,\omega)$ 的中心 $S^1$-扩张。
• 通过哈密顿作用的矩映射 $\Phi$，将 $B$ 上的环面 $T$ 的作用提升至 $P$，保持联络 1-形式 $\alpha$，使用公式 $X_P = X_B^h - \pi^*\Phi^X \cdot R$。
• 将矩映射归一化，使得 $\Phi(b_0) = 0$ 对某个固定点 $b_0 \in B^T$ 成立，从而确保提升作用在 $P$ 上下降为 $T$-作用。
• 通过 Cartan 公式和条件 $L_{X_P}\alpha = f\alpha$ 证明：任何包含 $P$ 上 $S^1$-作用的环面 $H \subset \mathrm{Diff}(P,\xi)$ 必须保持接触形式 $\alpha$，因此属于 $\mathrm{Diff}(P,\alpha)$。
• 将该提升结果应用于 Hausmann–Knutson 和 Hausmann–Tolman 关于多边形空间的研究，构造出接触同胚群中具有不同维数极大环面的接触流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 基空间辛流形的辛同胚群中的极大环面能否被提升为相应正则接触流形的接触同胚群中的极大环面？
• RQ2 在扩张映射 $\tau: \mathrm{Diff}(P,\alpha) \to \mathrm{Diff}(B,\omega)$ 下，$\mathrm{Diff}(B,\omega)$ 中极大环面对应的原像是否在更大的群 $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ 中仍是极大环面？
• RQ3 是否存在其接触同胚群中包含不同维数极大环面的接触流形？
• RQ4 什么条件能保证基空间 $B$ 上的环面作用被提升为 $P$ 上保持接触形式 $\alpha$ 的环面作用？

主要发现

• 在扩张映射 $\tau: \mathrm{Diff}(P,\alpha) \to \mathrm{Diff}(B,\omega)$ 下，$\mathrm{Diff}(B,\omega)$ 中极大环面 $T$ 的原像 $T'$ 是 $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ 中的极大环面。
• 任何包含 $P$ 上 $S^1$-作用的环面 $H \subset \mathrm{Diff}(P,\xi)$ 必须保持接触形式 $\alpha$，因此属于 $\mathrm{Diff}(P,\alpha)$。
• 对于具有整数辛形式 $\omega$ 的五边形空间 $\mathbb{C}P^2 \# 3\overline{\mathbb{C}P}^2$，其对应的接触流形 $P$ 在 $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ 中具有维数为 3 的极大环面。
• 对于七边形空间 $\mathrm{Pol}(1,1,2,2,3,3,3)$，其接触同胚群 $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ 包含维数为 3、4 和 5 的极大环面。
• 该构造提供了接触同胚群中具有不同维数极大环面的接触流形的显式例子，解决了关于此类环面多样性的问题。