[论文解读] On maximization of measured $f$-divergence between a given pair of quantum states

Keiji Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2014

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文通过使用凸分析和非交换 Radon-Nikodym 导数，将量子态之间测量 f-散度的单拷贝最大化问题重新表述为优化问题，推进了该问题的研究。当 $ f^* $ 为算子凸函数时，推导出 $ D_f^{\text{min}} $ 的闭式表达式，包括 $ f = f_2 $ 和 $ f = f_{-1} $ 的显式解，并通过 $ f^* $ 的 Frechet 导数提供了一种可计算的矩阵方程以求解最优测量。

ABSTRACT

This paper deals with maximization of classical $f$-divergence between the distributions of a measurement outputs of a given pair of quantum states. $f$-divergence $D_{f}$ between the probability density functions $p_{1}$ and $p_{2}$ over a discrete set is defined as $D_{f}( p_{1}||p_{2}) :=\sum_{x}p_{2}(x) f\left(p_{1}(x)/p_{2}( x) ight) $. For example, Kullback-Leibler divergence and Renyi type relative entropy are well-known examples with good operational meanings. Thus, finding the maximal value $D_{f}^{\min}$ of measured measured $f$-divergence is also an interesting question. But so far the question is solved only for very restricted example of $f$. \ The purposes of the present paper is to advance the study further, by investigating its properties, rewriting the maximization problem to more tractable form, and giving closed formulas of the quantity in some special cases.

研究动机与目标

• 解决长期以来单拷贝测量 f-散度在量子态之间最大化的挑战，该问题相较于渐近分析研究较少。
• 利用凸对偶性，将 POVM 上的非凸优化问题重新表述为关于厄米特算子的可处理凹最大化问题。
• 在特殊情况下（如第一个态为纯态或 $ f $ 取特定函数形式）推导出 $ D_f^{\text{min}} $ 的闭式表达式。
• 通过凸共轭 $ f^* $ 建立最优 f-散度与非交换 Radon-Nikodym 导数之间的联系。
• 提供一种避免集体测量的计算最优测量 f-散度的框架，从而深化对单拷贝测量作用的理解。

提出的方法

• 利用 $ f $ 的凸共轭 $ f^* $，在 $ f^* $ 为算子凸函数的条件下，将测量 f-散度的最大化问题重写为关于厄米特算子 $ T $ 的凹泛函的上确界问题。
• 将最优 f-散度表示为 $ D_f^{\text{min}}(\rho_1||\rho_2) = \sup_T \left\{ \mathrm{tr}\, \rho_1 T - \mathrm{tr}\, \rho_2 f^*(T) \right\} $，其中 $ \mathrm{spec}\, T \subset \mathrm{dom}\, f^* $，从而实现非 POVM 的形式化。
• 推导出矩阵方程 $ \rho_1 = \mathrm{D}f^*(T_0)(\rho_2) $，其中 $ \mathrm{D}f^* $ 为 $ f^* $ 的 Frechet 导数，用于求解最优 $ T_0 $，从而获得最大 f-散度。
• 将该方法应用于具体情形：当 $ f_2(\lambda) = \lambda^2 $ 时，解给出 $ D_{f_2}^{\text{min}} = \mathrm{tr}\, \rho_2 (T_0)^2 $；当 $ f_{-1}(\lambda) = \lambda^{-1} $ 时，也获得类似闭式解。
• 在微扰情形（如 $ \rho_{\eta'} $ 为 $ \rho_\eta $ 的小扰动）下，利用 Lyapunov 型方程求解 $ T_0 $，实现渐近展开。
• 当 $ \rho_1 $ 具有非平凡核时，将优化问题约化至 $ \mathrm{supp}\, \rho_1 $ 的子空间，通过投影至 $ \mathrm{supp}\, \rho_1 $ 简化计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $ f $ 的必要与充分条件下，可使最大化的 f-散度通过凸共轭 $ f^* $ 以可处理的形式表达？
• RQ2 能否将 $ f^* $ 为算子凸的条件重新表述为关于 $ f $ 本身的条件，以与量子 f-散度理论中的标准假设保持一致？
• RQ3 是否存在一个可计算的 $ D_f^{\text{min}} $ 上界，可用于比较单拷贝与渐近情形在量子假设检验中的性能？
• RQ4 当 $ \rho_1 $ 具有非平凡核时，最优测量的结构如何变化？该特性能否被用于降低计算复杂度？
• RQ5 该方法能否扩展至计算 $ D_f^{\text{min}} $ 关于态参数扰动的高阶导数，从而实现敏感性分析？

主要发现

• 本文建立了当 $ f^* $ 为算子凸函数且 $ \mathrm{spec}\, T \subset \mathrm{dom}\, f^* $ 时，$ D_f^{\text{min}}(\rho_1||\rho_2) $ 的闭式表达式为 $ \sup_T \left\{ \mathrm{tr}\, \rho_1 T - \mathrm{tr}\, \rho_2 f^*(T) \right\} $，将 POVM 优化转化为矩阵凸问题。
• 当 $ f = f_2(\lambda) = \lambda^2 $ 时，最优 f-散度为 $ D_{f_2}^{\text{min}} = \mathrm{tr}\, \rho_2 T_0^2 $，其中 $ T_0 $ 满足方程 $ \rho_1 = \frac{1}{2} (T_0 \rho_2 + \rho_2 T_0) $，可通过 Lyapunov 方程获得可处理的解。
• 当 $ f = f_{-1}(\lambda) = \lambda^{-1} $ 时，解为 $ D_{f_{-1}}^{\text{min}} = \mathrm{tr}\, \rho_2 (T_0)^{-2} $，其中 $ T_0 $ 同样满足 $ \rho_1 = \frac{1}{2} (T_0 \rho_2 + \rho_2 T_0) $，表明该方法适用于倒数型散度。
• 当 $ \rho_1 $ 具有非平凡核时，优化问题可约化至子空间 $ \mathrm{supp}\, \rho_1 $，且 $ D_f^{\text{min}} $ 在希尔伯特空间扩展下保持不变，从而简化计算。
• 对于微扰族态 $ \rho_\eta $，本文通过 $ f_b^* $ 的展开计算了 $ D_f^{\text{min}} $ 的二阶导数，得到 $ D_{f_b}^{\text{min}} = \frac{1}{4} \mathrm{tr}\, (L_\eta^{S,2} \rho_\eta L_\eta^{S,2}) (\eta' - \eta)^2 + O((\eta' - \eta)^3) $，实现敏感性分析。
• 该方法允许计算 $ D_f^{\text{min}} $ 在某一状态附近的展开式中的二阶项，结果依赖于对称导数 $ L_\eta^{S,2} $，为 f-散度的局部几何提供了工具。