[论文解读] On mean values of Dirichlet series

Ilgar Sh. Jabbarov|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用 1

一句话总结

本文引入了一类具有复系数的狄利克雷级数，定义了一个平均值的半平面，使得该类级数的任意自然幂在此半平面上均有明确定义的平均值。证明了若该级数及其逆级数均属于此类，则其平均值半平面不含零点，从而建立了林德勒夫猜想的类比，并将平均值理论推广至包括黎曼ζ函数在内的广泛L函数类。

ABSTRACT

In this paper we study the mean values and zeroes of Dirichlet series of a view $\sum_{n}a_n n^{-s}$ with complex coefficients. There was introduced some class of Dirichlet series including such widely used series as the Riemann zeta-function, Dirichlet L-functions and ets. A new point of view is introduced in defining of a half plane of mean values. It was proven that in the half plane of mean values any natural degree of the series of an inroduced class, being regular in this half plane,has a mean value. In particular, the analog of Lindelof Hypothesis is true. If, in addition, the Dirichlet series f(s) belongs to this class with the function f(s)^{-1} then the half plane of mean values was proved to be free from the zeroes.

研究动机与目标

• 定义一类广义的狄利克雷级数，以推广重要的L函数，如黎曼ζ函数和狄利克雷L函数。
• 为这类级数引入一个全新的‘平均值半平面’概念。
• 在该级数的平均值半平面上，建立其所有自然幂的平均值存在的证明。
• 证明若一个级数及其逆级数均属于此类，则其平均值半平面不含零点。

提出的方法

• 本文定义了一类狄利克雷级数 ∑aₙn⁻ˢ（具有复系数），其包含黎曼ζ函数和狄利克雷L函数。
• 提出一种新准则，用于确定平均值存在的半平面。
• 分析依赖于绝对收敛半平面及其外部的正则性与收敛性性质。
• 采用复分析技术研究级数及其幂的行为，特别关注平均值的存在性与零点分布。
• 要求逆级数 f(s)⁻¹ 在同一半平面上解析，以确保零点自由性。
• 平均值存在性与零点自由性的证明基于对部分和的估计及级数的积分表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，狄利克雷级数的自然幂在某一半平面上具有平均值？
• RQ2 如何为一类广泛的狄利克雷级数定义广义的平均值半平面？
• RQ3 在何种条件下，平均值半平面不含零点？
• RQ4 该框架在多大程度上推广了L函数的林德勒夫猜想？
• RQ5 该类中的狄利克雷级数的逆是否也能在同一半平面上解析，其后果是什么？

主要发现

• 该类中狄利克雷级数的任意自然幂在其平均值半平面上均有明确定义的平均值。
• 该类中所有级数均满足林德勒夫猜想的类比，证实了平均值的生长条件。
• 若级数 f(s) 及其逆 f(s)⁻¹ 均属于该类，则其平均值半平面不含零点。
• 当逆级数解析时，平均值半平面在取幂与取逆运算下保持不变。
• 该类包含黎曼ζ函数和狄利克雷L函数，表明其具有广泛适用性。
• 零点自由性结果可推广至整个平均值半平面，而不仅限于临界带。