[论文解读] On measure and Hausdorff dimension of Julia sets for holomorphic Collet--Eckmann maps

Feliks Przytycki|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 1995

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 15

一句话总结

本文证明，对于满足额外Tsujii型平均分离条件的全纯Collet–Eckmann映射，其Julia集的Hausdorff维数严格小于2，且不携带任何光滑（Riemann）测度。关键结果通过证明并非所有具有连通Julia集的非亚指数扩张有理映射都具有满Hausdorff维数，从而解决了Bishop与Lyubich在1995年MSRI会议上提出的问题，即使Julia集并非整个黎曼球面。

ABSTRACT

Let $f:\bar\bold C o\bar\bold C$ be a rational map on the Riemann sphere , such that for every $f$-critical point $c\in J$ which forward trajectory does not contain any other critical point, $|(f^n)'(f(c))|$ grows exponentially fast (Collet--Eckmann condition), there are no parabolic periodic points, and else such that Julia set is not the whole sphere. Then smooth (Riemann) measure of the Julia set is 0. For $f$ satisfying additionally Masato Tsujii's condition that the average distance of $f^n(c)$ from the set of critical points is not too small, we prove that Hausdorff dimension of Julia set is less than 2. This is the case for $f(z)=z^2+c$ with $c$ real, $0\in J$, for a positive line measure set of parameters $c$.

研究动机与目标

• 解决Bishop与Lyubich在1995年MSRI会议上提出的问题：是否所有具有连通Julia集的非亚指数扩张有理映射的Hausdorff维数必为2。
• 证明对于一大类非一致双曲（Collet–Eckmann）映射，其Julia集的Hausdorff维数严格小于2。
• 在Collet–Eckmann条件成立且无抛物周期点的条件下，证明Julia集的Riemann（光滑）测度为零。
• 证明Tsujii条件对临界点的平均分离性可确保存在一个pacim（概率绝对连续不变测度），这是获得维数上界的核心。

提出的方法

• 利用α-共形测度与转移算子分析在Collet–Eckmann条件与Tsujii条件下pacim（概率绝对连续不变测度）的存在性。
• 通过转移算子应用谱间隙方法，证明不变测度相对于共形测度的密度具有统一的下界。
• 利用扰动控制与Julia集上存在统一双曲结构的性质，证明小球的逆像直径呈指数衰减。
• 应用Besicovitch覆盖定理，通过证明若存在正的光滑测度，则会与存在具有正Lyapunov指数的pacim相矛盾，从而导出矛盾。
• 证明关键不等式（0.3），涉及迭代临界值倒数的积分，该不等式在Tsujii条件下可确保pacim的存在性。
• 利用当HD(J) = 2时存在2-共形测度的性质，并证明在Tsujii条件下该测度满足所需的可积性条件（0.3），从而推出pacim的存在性，这与定理A的光滑测度为零的结论矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bishop与Lyubich所质疑的是否成立：所有具有连通Julia集的非亚指数扩张有理映射的Hausdorff维数是否必为2？
• RQ2 对于满足Collet–Eckmann条件及临界值额外平均分离条件的映射，其Julia集的Hausdorff维数是否可能严格小于2？
• RQ3 在无抛物周期点且满足Collet–Eckmann条件时，Julia集的Riemann测度是否为零？
• RQ4 在何种条件下，Julia集上的2-共形测度满足可积性条件（0.3），从而确保pacim的存在？
• RQ5 Tsujii条件是否足以保证Collet–Eckmann映射的Julia集具有Hausdorff维数小于2？

主要发现

• 对于满足Collet–Eckmann条件、无抛物点且J(f) ≠ ℂ的有理映射，其Julia集的Riemann测度为零。
• 在附加Tsujii条件（0.2）下，Julia集的Hausdorff维数严格小于2。
• Tsujii条件意味着Julia集上的2-共形测度满足可积性条件（0.3），从而确保pacim的存在。
• 对于参数c为实数且属于[−2, 0]的映射族f(z) = z² + c，参数c的正测度集合满足条件（0.1）与（0.2）。
• 具有正Lyapunov指数的pacim的存在性与定理A的结论（光滑测度为零）矛盾，从而证明当Tsujii条件成立时，HD(J) < 2。
• 证明的关键在于：若HD(J) = 2，则存在2-共形测度且满足（0.3），从而推出pacim的存在，这与定理A的光滑测度为零的结论矛盾。