[论文解读] On Measurement and Computation

Huimin Zheng, Haixing Hu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文正式建立了一套物理可计算性与物理复杂性的理论，提出一个框架以衡量不同物理机制（包括量子系统）的计算效率，基于可测量的物理资源。它展示了如Shor算法和Grover算法等量子算法如何被重新解释为具有可证明优越复杂度的物理计算，并提出一种方法，通过提出关于量子态概率的特定且可验证的问题，将量子模拟转化为高效的量子算法。

ABSTRACT

Inspired by the work of Feynman, Deutsch, We formally propose the theory of physical computability and accordingly, the physical complexity theory. To achieve this, a framework that can evaluate almost all forms of computation using various physical mechanisms is discussed. Here, we focus on using it to review the theory of Quantum Computation. As a preliminary study on more general problems, some examples of other physical mechanism are also given in this paper.

研究动机与目标

• 正式建立一个通用的物理可计算性理论，超越图灵机模型，将所有物理过程视为计算机制。
• 基于可测量的物理资源（如时间、能量、量子比特）定义物理复杂度，实现不同计算范式之间的严格比较。
• 证明量子算法（如Shor算法和Grover算法）通过将它们视为高效利用资源的物理计算，可实现优越的复杂度。
• 开发一种将量子模拟转化为量子算法的方法，通过提出关于量子态振幅的可判定、可验证的问题。
• 探索物理机制是否能够计算经典计算无法实现的函数，特别是在高维或量子统计系统中。

提出的方法

• 基于物理态、观测者和物理过程构建形式化框架，引入复合算子（∘）以建模连续的物理操作。
• 通过可观测结果和概率态演化，定义确定性和非确定性物理计算。
• 提出一种递归划分状态空间的程序（P_Q），利用预定义集合中的法向量作为超平面，以隔离感兴趣区域。
• 使用条件检查验证状态空间的两个子集A和B是否满足概率比的有界条件（3/7 ≤ |φ(A)|² / |φ(B)|² ≤ 1），确保有意义的比较。
• 设计一个问题，要求求解振幅|φ(A)|的第n₀位数字，该问题对经典概率图灵机而言困难，但可在量子计算机上高效求解。
• 将该框架应用于分析量子算法，将其实效性重新解释为物理资源优化的结果，而非抽象电路复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在独立于图灵机模型的前提下，正式定义一个通用的物理可计算性理论？
• RQ2 如何量化并比较不同物理系统（如量子、经典或基于DNA的计算）的物理资源复杂度？
• RQ3 能否通过提出关于量子态振幅的特定且可验证的问题，系统性地将量子模拟转化为量子算法？
• RQ4 是否存在一种物理机制，能够计算经典图灵机无法计算的函数？
• RQ5 准备量子态（如纠缠量子比特）的复杂度本身是否构成一种非平凡的计算资源？

主要发现

• 本文确立了物理可计算性包含图灵可计算性，任何物理可计算函数均可由物理过程模拟，尽管未必在多项式时间内完成。
• 量子算法（如Shor算法和Grover算法）分别通过利用量子态演化和测量中的物理资源效率，实现了指数级和二次方加速。
• 所提出的将量子模拟转化为算法的方法，确保涉及量子振幅第n₀位数字的问题可在量子计算机上比在经典概率图灵机上更快求解。
• 该框架指出，模拟某些量子系统困难的原因不在于计算本身，而在于从高维概率分布中提取有意义信息的挑战。
• 作者推测，在特定统计模型下，满足有界比值约束的量子振幅第n₀位数字的确定问题为#P难，暗示其与计算复杂度类存在深层联系。
• 本文强调，准备多项式数量的量子比特可能构成非平凡的计算瓶颈，暗示量子计算的资源成本可能包括状态准备本身。