[论文解读] On measures of maximal and full dimension for polynomial automorphisms of $\C^2$

Christian Wolf|ArXiv.org|Apr 2, 2001

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 3被引用 4

一句话总结

该论文利用热力学形式系统，证明了在 ℂ² 上的双曲多项式自同构中存在一个最大维数测度，表明此类测度是单参数势函数族的平衡态。进一步证明了在非保体积映射中，全维数测度必为最大熵测度，且在参数族中动力维数 d(g) 是连续的且为全纯凸函数。

ABSTRACT

For a hyperbolic polynomial automorphism of $\C^2$, we show the existence of a measure of maximal dimension, and identify the conditions under which a measure of full dimension exists.

研究动机与目标

• 建立 ℂ² 上双曲多项式自同构的最大维数测度的存在性。
• 确定全维数测度存在的条件。
• 分析动力维数 d(g) 对映射参数的依赖性。
• 阐明在非保体积系统中全维数测度与最大熵测度之间的关系。

提出的方法

• 通过构造与动力系统相关的单参数势函数族，运用热力学形式系统。
• 将最大维数测度识别为这些势函数的平衡测度。
• 应用杨氏公式，将度量熵与豪斯多夫维数联系起来，从而连接遍历性质与维数理论。
• 利用实解析性与唯一性定理，证明压力函数仅有有限个极大值，从而确保最大维数测度的存在性。
• 通过共轭族与调和函数，证明在全纯参数族中 d(g) 的连续性与全纯凸性。
• 应用 [VW] 与 [Wo1] 中关于实解析压力函数与共轭关系的结果，建立 d(g) 的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个双曲多项式自同构的 ℂ²，其必存在最大维数测度？
• RQ2 在何种条件下，此类映射存在全维数测度？
• RQ3 当全维数测度存在时，其是否唯一？
• RQ4 全维数测度是否可能存在于非保体积映射中？若存在，其特征是什么？
• RQ5 在全纯映射族中，动力维数 d(g) 如何随参数变化？

主要发现

• 每个 ℂ² 上的双曲多项式自同构均存在最大维数测度，且此类测度的集合是有限的。
• 在非保体积映射中，全维数测度必为最大熵测度，表明此类测度极为稀少。
• 最多存在一个全维数测度，如引理 3.6 所示。
• 在双曲参数空间的稠密开子集中，有 d(g) < dim_H J。
• 在全纯族中，λ ↦ d(g_λ) 是连续且全纯凸的。
• 所有最大维数测度均为伯努利测度，这是由于拓扑混合性与平衡态性质所致。