[论文解读] On metric viscosity solutions for Hamilton-Jacobi equations of evolution type

Atsushi Nakayasu|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 11

一句话总结

本文通过最优控制原理，提出了一类在一般度量空间中针对演化型Hamilton-Jacobi方程的新型度量粘性解概念。通过基于动态规划原理的唯一存在性定理，建立了该解概念的唯一存在性，并证明了该解概念与Giga等人在[13]中提出的粘性解框架等价，从而将粘性解理论从欧几里得或巴拿赫空间推广至任意度量结构。

ABSTRACT

This paper studies Hamilton-Jacobi equations of evolution type defined in a general metric space. We give a notion of a solution through optimal principles and establish a unique existence theorem of the solution for initial value problems. We also note a relationship between the notion of a solution and another notion based on characterization of the modulus of the gradient in the sense of [13].

研究动机与目标

• 为在缺乏切空间结构、经典导数与梯度未定义的一般度量空间中，定义Hamilton-Jacobi方程的解概念。
• 基于最优控制的动态规划原理，为该类方程的初值问题建立唯一存在性定理。
• 将所提出的解概念与Giga、Hamamuki与Nakayasu在[13]中提出的度量粘性解框架相联系，特别针对下解情形。
• 将粘性解理论从欧几里得或巴拿赫空间推广至仅具有度量结构的任意度量空间。

提出的方法

• 将允许曲线定义为几乎处处其度量导数有界的Lipschitz曲线。
• 通过动态规划原理引入下解与上解：下解沿所有或部分允许曲线满足次优性条件，上解满足超优性条件。
• 将值函数构造为所有允许曲线的总代价上确界，结合运行代价与终端值。
• 证明值函数满足动态规划原理，且同时为下解与上解。
• 利用比较原理，证明任意下解均被具有相同初值的任意上解所控制。
• 通过证明值函数是唯一满足初值条件的下解与上解的函数，建立解的唯一存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏切空间或经典梯度的度量空间中，如何定义Hamilton-Jacobi方程的粘性解？
• RQ2 基于最优控制的所提解概念与[13]中提出的度量粘性解概念之间存在何种关系？
• RQ3 在哈密顿函数满足一般假设条件下，Hamilton-Jacobi方程在任意度量空间中是否存在唯一解？
• RQ4 最优控制问题的值函数是否满足动态规划原理，并作为所提意义下的解？
• RQ5 所提解概念是否与欧几里得空间中的经典粘性解等价？其在非光滑或非黎曼几何设定下如何推广？

主要发现

• 通过最优控制定义的值函数是所提度量粘性意义下Hamilton-Jacobi方程的解。
• 值函数满足动态规划原理：对所有 h ∈ [0,t]，有 U(x,t) = inf_{曲线} ∫₀ʰ L[ξ] dr + U(ξ(h), t−h)。
• 在所提定义下，值函数同时为下解与上解，因此是解。
• 解具有唯一性：任意两个具有相同初值的解必相等，此结论由比较原理证明。
• 本文中下解的定义与[13]中的下解定义等价，确立了与先前工作的连贯性。
• 该理论适用于任意度量空间，无需光滑或线性结构，因此将粘性解理论推广至非欧几里得与非巴拿赫设定。