[论文解读] On minimal edge version of doubly resolving sets of a graph

Muhammad Ahmad, Zohaib Zahid+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2018

Graph Labeling and Dimension Problems被引用 5

一句话总结

本文引入了图中边版本的双重分辨集，基于线图中的边距离进行定义，并计算了 $n$-太阳花图 $S_n$ 和柱面图 $Y_n$ 的最小基数 $ psi_E(G)$。证明了对所有 $n \geq 3$，有 $ psi_E(S_n) = 3$，且与奇偶性无关；对 $n \geq 6$，有 $ psi_E(Y_n) = 3$，表明在这些情况下，边版本的双重分辨集与边度量维数一致。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the edge version of doubly resolving set of a graph which is based on the edge distances of the graph. As a main result, we computed the minimum cardinality $ψ_E$ of edge version of doubly resolving sets of family of $n$-sunlet graph $S_n$ and prism graph $Y_n$.

研究动机与目标

• 基于图的线图中的边距离，引入并形式化边版本双重分辨集的概念。
• 确定 $n$-太阳花图 $S_n$ 和柱面图 $Y_n$ 的此类集合的最小基数 $\psi_E(G)$。
• 在特定图族中，建立边度量维数 $\dim_E(G)$ 与边版本双重分辨集 $\psi_E(G)$ 之间的联系。
• 通过边距离表示法，显式构造 $S_n$ 和 $Y_n$ 的最小边双重分辨集。

提出的方法

• 将两条边 $f,g$ 之间的边距离 $d_E(f,g)$ 定义为它们在对应线图 $L(G)$ 中的顶点之间最短路径的长度。
• 引入边集 $N_E$ 相对于边 $e$ 的边版本表示 $r_E(e, N_E)$，形成边距离的 $k$-元组。
• 将边双重分辨集定义为边集 $D_E$，使得对任意两条不同的边 $e \neq f$，存在 $D_E$ 中的两条边，其边距离坐标差值不同。
• 通过边的对称标记法，显式构造 $S_n$ 和 $Y_n$ 的边双重分辨集 $D_E^*$，并验证边距离差值向量的唯一性。
• 基于 $n$ 的奇偶性进行分类讨论，证明对所有 $n \geq 3$ 有 $ psi_E(S_n) = 3$，对 $n \geq 6$ 有 $ psi_E(Y_n) = 3$，并借助表格验证度量坐标。
• 利用已知的边度量维数 $ dim_E(G)$ 结果，与 $ psi_E(G)$ 进行比较，证明 $ dim_E(G) \leq \psi_E(G)$，且在 $S_n$ 和 $Y_n$ 中两者相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $n$-太阳花图 $S_n$，边版本双重分辨集的最小基数 $\psi_E(G)$ 是多少？
• RQ2 对于柱面图 $Y_n$，边版本双重分辨集的基数 $\psi_E(Y_n)$ 如何随 $n$ 变化？
• RQ3 在 $S_n$ 和 $Y_n$ 中，边版本双重分辨集是否与边度量维数 $\dim_E(G)$ 一致？
• RQ4 能否通过边的对称标记法与距离差值分析，显式构造 $S_n$ 和 $Y_n$ 的边版本双重分辨集？

主要发现

• 对所有 $n \geq 3$，$n$-太阳花图 $S_n$ 的边版本双重分辨集基数 $ psi_E(S_n)$ 均为 3，与 $n$ 的奇偶性无关。
• 对于 $n$-太阳花图 $S_n$，边度量维数 $\dim_E(S_n)$ 受 $n$ 奇偶性影响，但 $ psi_E(S_n)$ 恒为 3。
• 对于柱面图 $Y_n$，当 $n \geq 6$ 时，$ psi_E(Y_n) = 3$，且该值与边度量维数 $ dim_E(Y_n)$ 一致。
• 为 $n = 2k$（$k \geq 3$）的 $Y_n$ 构造了显式的最小边双重分辨集 $D_E^* = \{e_0, e_{k-1}, f_{k+1}\}$，并通过边距离差值向量验证。
• 为 $n = 2k+1$（$k \geq 3$）的 $Y_n$ 构造并验证了另一组显式集合 $D_E^* = \{e_0, e_k, g_{k+2}\}$，确认 $ psi_E(Y_n) = 3$。
• 结果表明，当 $n \geq 6$ 时，$\dim_E(G) = \psi_E(G)$ 对于 $S_n$ 和 $Y_n$ 均成立，表明边度量维数足以实现边双重分辨。