[论文解读] On minimal energy solutions to certain classes of integral equations related to soliton gases for integrable systems

Arno B. J. Kuijlaars, Alexander Tovbis|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2021

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 27被引用 13

一句话总结

本文通过势论方法，证明了可积系统中孤立子气体密度积分方程解的存在性、唯一性及非负性，通过最小化修正能量泛函实现。研究证明，状态密度 $ u(z) \geq 0 $ 绝对连续，且满足聚焦NLS和KdV方程的非线性色散关系，对于凝聚态情形，通过黎曼面上的亚纯微分导出精确解。

ABSTRACT

We prove existence, uniqueness and non-negativity of solutions of certain integral equations describing the density of states $u(z)$ in the spectral theory of soliton gases for the one dimensional integrable focusing Nonlinear Schr\"{o}dinger Equation (fNLS) and for the Korteweg de Vries (KdV) equation. Our proofs are based on ideas and methods of potential theory. In particular, we show that the minimizing (positive) measure for certain energy functional is absolutely continuous and its density $u(z)\geq 0$ solves the required integral equation. In a similar fashion we show that $v(z)$, the temporal analog of $u(z)$, is the difference of densities of two absolutely continuous measures. Together, integral equations for $u,v$ represent nonlinear dispersion relation for the fNLS soliton gas. We also discuss smoothness and other properties of the obtained solutions. Finally, we obtain exact solutions of the above integral equations in the case of a KdV condensate and a bound state fNLS condensate. Our results is a first step towards a mathematical foundation for the spectral theory of soliton and breather gases, which appeared in work of El and Tovbis, Phys. Rev. E, 2020. It is expected that the presented ideas and methods will be useful for studying similar classes of integral equation describing, for example, breather gases for the fNLS, as well as soliton gases of various integrable systems.

研究动机与目标

• 为可积系统中孤立子与反常子气体的谱理论建立数学基础，尤其针对聚焦非线性薛定谔方程（fNLS）和Korteweg-de Vries（KdV）方程。
• 证明描述状态密度 $ u(z) $ 及其时间类比 $ v(z) $ 的积分方程解的存在性与唯一性，且满足 $ u(z) \geq 0 $ 在 $ \Gamma^+ $ 上，这对物理上作为状态密度的解释至关重要。
• 将经典势论中的变分方法推广至处理第三类弗雷德霍姆积分方程（含 $ \sigma \geq 0 $），尤其在 $ \sigma \equiv 0 $ 的情形，对应于孤立子凝聚态。
• 在对 $ \sigma $ 和轮廓 $ \Gamma^+ $ 的各种正则性假设下，刻画最小化子 $ \mu^* $ 的光滑性与几何支集。
• 通过将解 $ u(z) $ 与双曲型黎曼面上的归一化准动量微分关联，为凝聚态情形（$ \sigma \equiv 0 $）推导精确解。

提出的方法

• 构造一个修正能量泛函 $ J_\sigma(\mu) $，其中包含势项 $ \sigma u^2 \, d\lambda $，确保欧拉-拉格朗日方程与目标积分方程 $ G\mu + \sigma u = \phi $ 一致。
• 在上半平面 $ \mathbb{C}^+ $ 中应用势论，将对数积分解释为格林势 $ G\mu(z) = \frac{1}{\pi} \int_{\Gamma^+} \log \left| \frac{z - w}{z - \bar{w}} \right| \, d\mu(w) $，其为上调和函数且在无穷远处趋于零。
• 在对 $ \lambda $、$ \Gamma^+ $、$ \sigma $ 和 $ \phi $ 的温和假设下，证明 $ J_\sigma $ 的最小化子 $ \mu^* $ 存在且唯一，且满足 $ \sigma \mu^* \ll \lambda $。
• 利用变分不等式与准处处（q.e.）相等的概念，证明 $ G\mu^* + \sigma u^* = \phi $ 几乎处处关于 $ \mu^* $ 在 $ \Gamma^+ $ 上成立，并在 $ \phi $ 为上调和函数时将其推广至整个 $ \Gamma^+ $。
• 通过将问题约化为拉普拉斯方程的狄利克雷问题并应用椭圆正则性理论，证明 $ u^* $ 在 $ \Gamma^+ $ 的解析弧段上具有 $ C^\infty $ 光滑性。
• 在凝聚态情形（$ \sigma \equiv 0 $）下，通过证明 $ u(z) $ 与双曲型黎曼面 $ \mathcal{R} $ 上的归一化准动量微分 $ dp $ 成正比，推导出精确解，其中 $ u(z) = \frac{i}{\pi} \frac{P(z)}{R(z)} $，$ P $ 为首一奇次多项式，$ R $ 为分支切割函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般 $ \sigma \geq 0 $，积分方程 $ \frac{1}{\pi} \int_{\Gamma^+} \log \left| \frac{w - \bar{z}}{w - z} \right| u(w) \, d\lambda(w) + \sigma(z)u(z) = \operatorname{Im} z $ 是否在 $ \Gamma^+ $ 上存在唯一且非负的解 $ u(z) \geq 0 $？
• RQ2 能否证明修正能量泛函 $ J_\sigma $ 的最小化子 $ \mu^* $ 满足欧拉-拉格朗日方程 $ G\mu^* + \sigma u^* = \phi $ 不仅在 $ \mu^* $-a.e. 上成立，而且在整个 $ \Gamma^+ $ 上成立，尤其当 $ \phi $ 为上调和函数时？
• RQ3 最小化子 $ \mu^* $ 的支集具有怎样的几何与光滑性结构？$ \sigma $ 与轮廓 $ \Gamma^+ $ 的正则性如何影响 $ u^* $ 的光滑性？
• RQ4 在孤立子凝聚态情形（$ \sigma \equiv 0 $）下，解 $ u(z) $ 是否与黎曼面上的亚纯微分相关？该关系能否用于推导精确解？
• RQ5 fNLS 孤立子气体的解与 KdV 孤立子气体的解之间有何关联，特别是在凝聚态极限下？KdV 解能否用 fNLS 解表示？

主要发现

• 修正能量泛函 $ J_\sigma $ 的最小化产生 $ \Gamma^+ $ 上唯一的正Borel测度 $ \mu^* $，满足 $ \sigma \mu^* \ll \lambda $，且密度 $ u^* = d\mu^*/d\lambda $ 几乎处处满足 $ G\mu^* + \sigma u^* = \phi $ 关于 $ \mu^* $ 在 $ \Gamma^+ $ 上。
• 当 $ \phi $ 在 $ \mathbb{C}^+ $ 上为正、连续且上调和时，变分条件 $ G\mu^* = \phi $ 在 $ \Gamma^+ \setminus \operatorname{supp}(\mu^*) $ 上成立，且在 $ \mathbb{C}^+ $ 上恒有 $ G\mu^* \leq \phi $，确保全局一致性。
• 在任意 $ C^\infty $ 光滑弧 $ \Gamma_1 \subset \Gamma^+ $ 上，若 $ \sigma \equiv 0 $，则密度 $ u^* $ 具有 $ C^\infty $ 光滑性，该结论通过约化为狄利克雷问题并应用椭圆正则性理论得以证明。
• 对于束缚态 fNLS 凝聚态（$ \sigma \equiv 0 $，$ \Gamma^+ \subset i\mathbb{R} $），解 $ u(z) $ 与归一化准动量微分 $ dp $ 成正比，且 $ u(z) = \frac{i}{\pi} \frac{P(z)}{R(z)} $，其中 $ P(z) $ 为实系数的首一奇次多项式，次数为 $ 2N+1 $。
• fNLS 凝聚态的解 $ u(z) $ 满足 $ \operatorname{Re} \int_{\gamma} u(z) \, dz = 0 $ 与 $ \operatorname{Im} \int_{\gamma} u(z) \, dz = 0 $ 对所有 $ B $-周期成立，确认其为归一化的亚纯微分。
• 对于 KdV 凝聚态，有 $ u_{\text{KdV}}(z) = \frac{1}{2} u_{\text{fNLS}}(iz) $ 在 $ \Gamma^+ \subset \mathbb{R} $ 上成立，且时间方程（1.2）的解为在两叶上于无穷远处具有 $ O(z^2) $ 行为的一个亚纯微分的密度。