[论文解读] On minimal singular metrics of certain class of line bundles whose section ring is not finitely generated

Takayuki Koike|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 9

一句话总结

本文证明了在某些在椭圆曲线上十二个点处的 $\mathbb{P}^2$ 的爆破上，对于某些拟正且大（nef and big）的线丛，即使其截面环非有限生成，也存在光滑的 Hermitian 度量且曲率半非负。具体而言，这是针对 Zariski 和 Mumford 的例子。关键方法是利用具有全纯管状邻域的光滑超曲面的平衡度量，在管状邻域上构造极小奇异度量，从而将结果推广至高维情形，且在法丛满足曲率与正性条件时成立。

ABSTRACT

Our interest is a regularity of a minimal singular metric of a line bundle. One main conclusion of our general result in this paper is the existence of continuous Hermitian metrics with semi-positive curvatures on the so-called Zariski's example of a line bundle defined over the blow-up of $\mathbb{P}^2$ at some twelve points. This is an example of a line bundle which is nef, big, not semi-ample, and whose section ring is not finitely generated. We generalize this result to the higher dimensional case when the stable base locus of a line bundle is a smooth hypersurface with a holomorphic tubular neighborhood.

研究动机与目标

• 为解决截面环非有限生成的线丛上极小奇异度量的正则性问题，特别是 Zariski 例子等病态情形。
• 建立伪有效线丛的极小奇异度量在光滑超曲面上光滑延拓的条件。
• 将光滑 Hermitian 度量存在性结果推广至半正则线丛之外，包括稳定基集为具有全纯管状邻域的光滑超曲面的情形。
• 通过在除子上的 $\mathbb{R}$-线丛上使用平衡度量，提供极小奇异度量的显式解析构造。

提出的方法

• 利用光滑射影代数簇 $X$ 中光滑超曲面 $D$ 的全纯管状邻域存在性，将度量构造问题约化为 $\mathbb{P}^1$-丛情形。
• 应用定理 1.3，通过 Bergman 核方法在 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}(A\oplus L)}(1)$ 上构造极小奇异度量，并通过限制到 $\mathbb{P}(L)$，得到 $L$ 上的极小奇异度量。
• 对 $t \in [0,1]$ 使用 $\mathbb{R}$-线丛 $tA|_D + (1-t)L|_D$ 的平衡度量，显式描述 $D$ 附近的度量。
• 使用正则化最大函数光滑拼接局部度量，替代逐点最大值，以保证 plurisubharmonicity 与光滑性。
• 将构造 $L$ 上极小奇异度量的问题，约化为：在 $X \setminus D$ 上替换奇异度量为在 $D$ 的管状邻域上构造的度量，利用 $\mathbb{P}^1$-丛结果。
• 应用 Grauert 定理，当 $(D^2) < \min\{0, 4 - 4g\}$ 时，确保全纯管状邻域存在，此条件在 Zariski 例子中 $g=1$ 且 $(D^2) = -3$ 时成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，伪有效线丛的极小奇异度量可沿具有全纯管状邻域的光滑超曲面光滑延拓？
• RQ2 在截面环非有限生成时，拟正且大线丛上是否可能存在光滑 Hermitian 度量且曲率半非负？
• RQ3 当 $L|_D$ 为伪有效且 $D$ 具有全纯管状邻域时，线丛 $L$ 的极小奇异度量是否限制为 $L|_D$ 的极小奇异度量？
• RQ4 如何利用 $D$ 上 $\mathbb{R}$-线丛的平衡度量来显式构造 $L$ 在 $D$ 附近的极小奇异度量？
• RQ5 当 $L|_D$ 为半正且满足法丛条件时，$L$ 的极小奇异度量是否局部有界？

主要发现

• 在 $\mathbb{P}^2$ 沿光滑椭圆曲线 $C$ 上十二个一般点的爆破 $X$ 上，线丛 $L = \mathcal{O}_X(H + D)$ 即使是拟正、大、非半正则且截面环非有限生成，也存在具有半非负曲率的光滑 Hermitian 度量。
• 在 Zariski 的例子中，$(D^2) = -3$ 且 $g(D) = 1$ 确保了全纯管状邻域的存在，满足定理 1.2 的假设条件。
• 当 $L|_D$ 为半正时，推论 3.5 表明 $L$ 本身为半正，从而提供了光滑半正度量存在的充分条件。
• 若 $L|_D$ 为伪有效，则 $L$ 的极小奇异度量在 $X \setminus D$ 上局部有界且光滑，且其限制为 $L|_D$ 的极小奇异度量。
• 在 $D$ 附近的极小奇异度量构造通过 $t \in [0,1]$ 的 $tA|_D + (1-t)L|_D$ 的平衡度量显式描述，其形式与定理 2.2 中的度量一致，仅相差光滑调和函数。
• 该结果可推广至 Mumford 的例子：对光滑曲面 $X$，非常 ample 除子 $A$，以及满足 $(D^2) < 0$ 且 ${\rm Pic}(X) \to {\rm Pic}(D)$ 单射的曲线 $D$，当 $b$ 足够大且 $p_0 = 1$ 时，线丛 $L = \mathcal{O}_X(bA + aD)$ 为半正。