[论文解读] On Mixed Isogeometric Analysis of Poroelasticity

Yared W. Bekele, Eivind Fonn+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2017

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于多孔弹性问题的混合等几何法，通过为位移和孔隙压力采用不同的多项式阶次，以减轻在小时间步长下出现的虚假压力振荡。与等阶次有限元法相比，该方法显著减少了振荡，尤其在使用高阶形函数及材料界面处具有C0连续性时，表现出更高的稳定性和收敛性，适用于Terzaghi的一维固结问题和具有低渗透率层的分层土壤模型。

ABSTRACT

Pressure oscillations at small time steps have been known to be an issue in poroelasticity simulations. A review of proposed approaches to overcome this problem is presented. Critical time steps are specified to alleviate this in finite element analyses. We present a mixed isogeometric formulation here with a view to assessing the results at very small time steps. Numerical studies are performed on Terzaghi's problem and consolidation of a layered porous medium with a very low permeability layer for varying polynomial degrees, continuities across knot spans and spatial discretizations. Comparisons are made with equal order simulations.

研究动机与目标

• 为解决有限元法在小时间步长下多孔弹性模拟中出现的压力振荡问题，该问题在该领域中已知存在。
• 评估不同多项式阶次的位移场与压力场在混合等几何公式中的性能表现。
• 研究多项式阶次、跨节点段的连续性以及网格细化对数值稳定性的影响。
• 在基准多孔弹性问题中，将混合阶次等几何方法与等阶次公式进行比较。
• 评估在低渗透率层附近使用非均匀网格对减少振荡的效果。

提出的方法

• 采用基于NURBS的形函数，对位移和孔隙压力分别使用不同多项式阶次的混合等几何公式。
• 使用伽辽金法与一致积分，实现比奥固结方程的弱形式。
• 采用后向欧拉格式进行时间域离散化，时间步长低于临界值以诱发振荡。
• 通过在材料界面处采用Cpp−1或C0连续性，实现跨节点段的连续性，以模拟材料属性的不连续性。
• 使用均匀网格与非均匀网格，提高低渗透率层附近的网格细化程度，以捕捉尖锐梯度。
• 在Terzaghi的一维固结问题和具有中间低渗透率层的二维分层土壤模型上开展数值研究。

实验结果

研究问题

• RQ1 在小时间步长下，混合阶次等几何公式与等阶次公式相比，在抑制孔隙压力振荡方面表现如何？
• RQ2 提高多项式阶次对孔隙压力解的稳定性和准确性有何影响？
• RQ3 在材料界面处，Cpp−1与C0连续性对多孔弹性模拟中振荡行为的影响如何？
• RQ4 在材料界面附近使用非均匀网格在多大程度上可减少低渗透率区域的振荡？
• RQ5 混合等几何方法是否能有效缓解复杂分层多孔弹性介质中的振荡？

主要发现

• 与等阶次公式相比，混合阶次等几何模拟显著减少了孔隙压力振荡，尤其在小时间步长下效果更明显。
• 随着压力场多项式阶次的提高，振荡减少，且孔隙压力误差的相对L2范数随高阶近似而收敛。
• 在低渗透率层中，C0连续性较Cpp−1连续性表现更优。
• 在界面附近采用非均匀网格（细化单元）可显著降低等阶次与混合阶次情况下的振荡。
• 对于Haga问题，当压力多项式阶次pp = 4且采用C0连续性时，混合阶次模拟几乎无振荡，表明具有高度稳定性。
• 结果表明，基于材料不连续性的自适应网格加密策略可极大提升多孔弹性模拟中的数值性能。