[论文解读] On Mixing Properties of Reversible Markov Chains

Richard C. Bradley|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2014

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文构造了一个反例，以证明对于可逆、Harris常返的马尔可夫链，$\r^*$-混合条件并不等价于其他标准混合条件（如$\r$-混合、绝对正相关性或信息正则性），即使在有利条件下（如可数状态空间、低边际微熵和指数混合率）亦然。其主要贡献在于证明了在该类马尔可夫链中，$\r^*$-混合性不能由几何遍历性推出，从而解决了关于混合条件层次结构的一个长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

It is well known that for a strictly stationary, reversible, Harris recurrent Markov chain, the $ρ$-mixing condition is equivalent to geometric ergodicity and to a "spectral gap" condition. In this note, it will be shown with an example that for that class of Markov chains, the "interlaced" variant of the $ρ$-mixing condition fails to be equivalent to those conditions.

研究动机与目标

• 确定$\r^*$-混合条件是否属于可逆、Harris常返马尔可夫链的混合条件等价类。
• 研究$\r^*$-混合性是否可由几何遍历性或其他标准混合条件在该类中推出。
• 构造一个满足所有标准混合条件（包括指数速率）但不满足$\r^*$-混合性的反例。
• 厘清$\r^*$-混合性在马尔可夫链依赖条件层次结构中的位置。

提出的方法

• 在有限状态空间$\{0,1,\dots,N\}$上构造一族严格平稳、可逆的马尔可夫链$Z^{(N)}$，满足$P(Z^{(N)}_0 = 0) \geq 1 - 2^{-N}$。
• 确保每个$Z^{(N)}$满足$\rho(Z^{(N)},1) \leq r < 1$，$I(Z^{(N)},n) \leq (2^{-N}r)^{2n}$，且对$m < N/2$有$\rho(\sigma(Z^{(N)}_0), \sigma(Z^{(N)}_{-m}, Z^{(N)}_m)) \geq 1 - 1/N$。
• 定义过程$X_k = (Z^{(3)}_k, Z^{(4)}_k, \dots)$，通过乘积构造形成一个可数状态、严格平稳、可逆的马尔可夫链$X$。
• 利用微熵可加性和耦合不等式，推导出$\rho(X,n) \leq r^n$和$I(X,n) < r^{2n}$，结合已知不等式可得$\beta(X,n) < r^n$。
• 证明对足够大的$N$，有$\rho(\sigma(X_0), \sigma(X_{-n}, X_n)) \geq 1 - 1/N$，从而表明$\r^*$-混合性不成立。
• 利用Borel–Cantelli引理确保$Z^{(N)}_k \neq 0$仅发生有限次，从而保证乘积过程$X$的定义良好。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可逆、Harris常返马尔可夫链中，$\r^*$-混合性是否由几何遍历性推出？
• RQ2 一个马尔可夫链能否是几何遍历的、绝对正相关的（指数速率），且信息正则的（指数速率），却仍不满足$\r^*$-混合性？
• RQ3 $\r^*$-混合性条件是否属于可逆马尔可夫链的标准混合条件等价类？
• RQ4 能否构造一个具有低边际微熵和指数混合速率但依然不满足$\r^*$-混合性的反例？

主要发现

• 所构造的马尔可夫链$X$是严格平稳的、可逆的，且具有可数状态空间。
• 该链满足$H(\sigma(X_0)) \leq r$，表明其边际微熵极低。
• $\rho(X,n) \leq r^n$且对所有$n \in \mathbb{N}$有$I(X,n) < r^{2n}$，表明$\r$-混合性和信息正则性均呈指数衰减。
• $\beta(X,n) < r^n$对所有$n$成立，确认了绝对正相关性具有指数速率。
• 尽管具备所有这些强混合性质，$\rho^*(X,n)$在$n \to \infty$时并不收敛于零，因此$X$不是$\r^*$-混合的。
• 该反例表明，在可逆、Harris常返马尔可夫链类中，$\r^*$-混合性不能由几何遍历性或其他标准混合条件推出。