[论文解读] On Mixing Rank One Infinite Transformations

V. V. Ryzhikov|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 10

一句话总结

本文证明了混合的秩一无限测度保测变换具有最小自叠加（MSJ），意味着它们仅与自身的幂交换。通过一种新颖的基于叠加的证明方法，并利用代数间隔物和Sidon型间隔序列构造新例子，作者将King在有限测度下的结果推广至无限测度情形，解决了关于Poisson叠加的中心化子的一个问题。

ABSTRACT

J.-P. Thouvenot and the author showed via different approaches that the centralizer of a mixing rank-one infinite measure preserving transformation was trivial. In this note the author presents his joining proof. We also consider constructions with algebraic spacers as well as a class of Sidon constructions to produce new examples of mixing rank one transformations. In connection with Gordin's question on the existence of homoclinic ergodic actions for a zero entropy system we also discuss Poisson suspensions of some modifications of Sidon rank one constructions.

研究动机与目标

• 证明混合的秩一无限测度保测变换具有最小自叠加（MSJ），将King在有限测度下的结果推广至无限测度情形。
• 通过代数间隔物和Sidon型间隔序列构造混合的秩一变换的新例子。
• 通过Poisson叠加的改进Sidon构造，回答Gordin关于零熵系统中同调作用的问题。
• 提供一种基于叠加理论的MSJ证明方法，补充Thouvenot基于Ornstein的方法。
• 证明此类变换的中心化子是平凡的，其结果对Poisson叠加具有重要意义。

提出的方法

• 采用基于叠加的证明技术，分析秩一变换的自叠加，依赖于Rokhlin塔的逼近和测度论估计。
• 应用引理：任何与所有非对角测度Δᵏ不相交的叠加ν必须满足ν(A×B) ≤ limsup ∑ aⱼᵏ Δᵏ(A×B)，其中∑ aⱼᵏ ≤ 2。
• 使用通过𝔽_{rⱼ}中乘法生成元定义的代数间隔序列，以保证Ornstein性质及部分和的单射性。
• 构造Sidon型间隔序列，使得sⱼ(1) << sⱼ(2) << … << sⱼ(rⱼ)，以确保在m ∈ (hⱼ, hⱼ₊₁)时仅有一个柱体可与TᵐUⱼ相交，从而保证混合性。
• 通过算子P(j,nⱼ) = (1/(rⱼ−nⱼ−1))∑ T^{Sⱼ(i,nⱼ)}的平均估计，证明算子范数趋于0，从而推出混合性。
• 应用弱闭包性质：若μ(TᵐA ∩ B) → 0当m → ∞，则系统为混合的，通过相关系数衰减验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 混合的秩一无限测度保测变换在无限测度情形下是否具有最小自叠加（MSJ）？
• RQ2 有限域中通过代数间隔序列构造的乘法生成元能否产生具有MSJ的混合秩一系统？
• RQ3 Sidon型间隔构造是否能产生具有可控相关系数衰减的混合秩一系统？
• RQ4 改进的Sidon构造的Poisson叠加能否实现零熵系统的同调作用？
• RQ5 混合的秩一无限测度变换的中心化子是否平凡？该性质是否可推广至其Poisson叠加？

主要发现

• 混合的秩一无限测度保测变换具有最小自叠加（MSJ），通过基于逼近和范数衰减的叠加理论论证证明。
• 混合的秩一无限测度变换的中心化子仅由其幂构成，这是MSJ的直接推论。
• 利用𝔽_{rⱼ}中乘法生成元构造的代数间隔物可产生满足Ornstein性质及部分和单射性的混合秩一系统。
• 具有快速增长间隔大小的Sidon型间隔序列可确保在m ∈ (hⱼ, hⱼ₊₁)时仅一个柱体可与TᵐUⱼ相交，从而保证混合性。
• 对于任意缓慢增长的ψ(m)（例如ln ln m），相关系数衰减满足μ(A ∩ TᵐA) ≤ C ψ(m)/√m，其中ψ(m) → ∞可任意缓慢。
• 所构造的混合秩一系统的Poisson叠加具有平凡中心化子，回答了E. Roy关于无限测度中弱闭包的问题。