[论文解读] On mod p local-global compatibility for GL_3 in the ordinary case

Florian Herzig, Daniel Le+1 more|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Feb 5, 2016

Mathematical Approximation and Integration被引用 6

一句话总结

本文在典型情形下建立了 GL₃ 的模 p 局部-整体相容性，通过证明在 p 处的分解群作用下，模 p 伽罗瓦表示的限制可从紧致酉群上的模 p 自守形式上 GL₃(F_w) 的作用中恢复，前提是满足典型、极大非分裂及一般性条件。关键结果确认了局部伽罗瓦表示通过模 p Langlands 对应框架在自守侧被编码。

ABSTRACT

Suppose that F/F+ is a CM extension of number fields in which the prime p splits completely and every other prime is unramified. Fix a place w|p of F. Suppose that rbar : Gal(F-bar/F) -> GL_3(Fp-bar) is a continuous irreducible Galois representation such that rbar|_{Gal(F_w-bar/F_w)} is upper-triangular, maximally non-split, and generic. If rbar is automorphic, and some suitable technical conditions hold, we show that rbar|_{\Gal(F_w-bar/F_w)} can be recovered from the GL_3(F_w)-action on a space of mod p automorphic forms on a compact unitary group. On the way we prove results about weights in Serre's conjecture for rbar, show the existence of an ordinary lifting of rbar, and prove the freeness of certain Taylor-Wiles patched modules in this context. We also show the existence of many Galois representations rbar to which our main theorem applies.

研究动机与目标

• 在典型情形下建立 GL₃ 的模 p 局部-整体相容性，将局部 Langlands 对应推广至高秩情形。
• 证明在 p 上方的素数处的局部伽罗瓦表示可从 GL₃(F_w) 在模 p 自守形式空间上的作用中恢复。
• 在模 p 自守形式的背景下，证明普通提升的存在性以及 Taylor–Wiles 拼接模的自由性。
• 在一般性和极大非分裂条件下，刻画模 p 伽罗瓦表示的 Serre 权重。
• 证明在典型情形下，Fontaine–Laffaille 不变量可唯一分类局部伽罗瓦表示的同构类。

提出的方法

• 利用 Fontaine–Laffaille 理论与 Breuil 模来分析具有上三角、极大非分裂及一般性约化的模 p 伽罗瓦表示的结构。
• 应用 p 进 Hodge 理论与强可除模理论，将伽罗瓦表示与具有下降结构的线性代数数据联系起来。
• 在典型情形下，利用 Taylor–Wiles 方法与拼接 Hecke 代数，证明 Hecke 代数上模的自由性。
• 运用 Diamond–Fujiwara 技巧，在模 p 情形下建立伽罗瓦表示与自守表示之间的相容性。
• 通过酉群从全局伽罗瓦表示构造模 p 自守表示，并分析其在 w 处的局部分量。
• 在 Breuil 模的范畴中应用对偶性与正合性结果，将子模与伽罗瓦子表示联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 p 上方的素数处，局部伽罗瓦表示是否可从 GL₃(F_w) 在模 p 自守形式空间上的作用中恢复？
• RQ2 在上三角、极大非分裂且一般性条件下，模 p 伽罗瓦表示的 Serre 权重具有何种结构？
• RQ3 对于满足典型与一般性条件的给定模 p 伽罗瓦表示，是否存在普通提升？
• RQ4 在紧致酉群上模 p 自守形式的空间是否足以检测 w 处的局部伽罗瓦表示？
• RQ5 在典型情形下，Fontaine–Laffaille 不变量如何分类局部伽罗瓦表示？

主要发现

• 在 w 处的局部伽罗瓦表示完全由紧致酉群上模 p 自守形式空间上 GL₃(F_w) 的作用所决定。
• 局部伽罗瓦表示的 Fontaine–Laffaille 不变量可取 ℙ¹(𝔽) ∖ {μ₁} 中的任意值，且该不变量可唯一分类局部表示的同构类。
• 在给定条件下，模 p 伽罗瓦表示存在普通提升，证实了在典型情形下 p 进提升的存在性。
• Taylor–Wiles 拼接模在 Hecke 代数上是自由的，这对相容性论证至关重要。
• 在极大非分裂情形下，模 p 伽罗瓦表示的 Serre 权重被完全刻画，其 Hodge–Tate 权重受到约束。
• 模 p 局部-整体相容性成立：酉群上的自守表示在 w 处将局部伽罗瓦表示实现为自守表示的子商。