[论文解读] On mod $p$ singular modular forms II

Siegfried Boecherer, Toshiyuki Kikuta|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2026

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一句话总结

论文将模 p^m 的奇点 Siegel 模形从标量情形扩展到向量值情形，并证明重量与 p-秩之间的同余：2k ≡ r (mod (p-1)p^{m-1})。

ABSTRACT

We generalize the notion of mod $p^m$ singular Siegel modular forms of $p$-rank $r$ to the vector-valued case and we show that also in this case a congruence mod $(p-1)p^{m-1}$ between the scalar weight and the $p$-rank must hold. In some sense our proof is even simpler than the one we gave previously in the scaler valued case.

研究动机与目标

• 激发关于向量值 Siegel 模形式的 Fourier 系数与 Hecke 本征值的可整性与同余的算术问题。
• 确定若一个次数 n 的 Siegel 模形式拥有积分 Fourier 系数，且存在一个与 p 互素的秩 n-1 的系数，则所有秩 n 的 Fourier 系数是否也可被 p 整除。
• 将先前的标量值结果推广到向量值设定，并确立重量-秩同余。
• 提供一个自包含的证明，避免以往工作中使用的 theta 分解。
• 讨论对更广范围的同余子群和 nebentypus 情况的推广。

提出的方法

• 为固定秩 r 的向量值 Siegel 模形式定义 mod p^m 的奇点性。
• 使用部分 Fourier-Jacobi 展开以及对 Fourier 展开中秩-r 部分的仔细分析。
• 通过部分扭曲/扩张来控制 nebentypus 并 isolating 相关的 Fourier 系数。
• 将得到的同余与通过适当的秩-r 转换将一阶模形式与 theta 系数之间的比较联系起来。
• 应用级别变换论证和已知的模形式结果来推导最终的重量-秩同余。
• 讨论不可约性和在分量之间相同的标量权重如何影响论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在一个秩 n-1 的系数不被 p 整除的情况下，是否存在一个具有积分 Fourier 系数的次数 n 的 Siegel 模形式使所有秩 n 的 Fourier 系数都被 p 整除？
• RQ2 在向量值设定下，模 p^m 奇点性强加了哪一条标量权重 k 与 p-秩 r 之间的同余？
• RQ3 重量-秩同余是否从标量值推广到向量值模形式，在自然的可整性条件下成立？
• RQ4 模同余子群与 mod p 下的 nebentypus 字符如何与向量值上下文中的 mod p^m 奇点性相互作用？

主要发现

• 若 f 在秩 r < n 时为 mod p^m 奇点，则 2k ≡ r (mod (p-1)p^{m-1}) 。
• 该结果对具有积分 Fourier 系数的向量值 Siegel 模形式以及在整数域内实现的表示成立。
• 证明通过利用部分 Fourier-Jacobi 展开和受控扭曲论证避免了 theta 分解。
• 在推广到某些同余子群和模 p 下的二次 nebentypus 时，同余仍然成立。
• 该论证在对表示和级别的温和条件下，将标量值情形推广到向量值形式。